Elección del signo de la constante de separación para una cuerda vibrante

Question

Supongamos que tenemos este problema PDE $$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$$ $$\psi(0,t)=\psi(L,t)=0$$ Representa las vibraciones de una cuerda tensada entre dos puntos. La técnica estándar para la solución es la separación de variables $\psi(x,t)=T(t)y(x)$ dando las ecuaciones $y''=\frac{1}{c^2}\lambda y$ $T''=\lambda T$ .

Todos los textos que he consultado suponen entonces que $\lambda<0$ y continúa. Dicen que la física del problema exige que la solución sea una combinación de senos y cosenos. Pero, ¿hay alguna forma matemática más rigurosa de verlo? ¿Estamos perdiendo posibles soluciones? ¿Qué pasaría si $\lambda>0$ ?

Answer 1

Es cierto que la física del problema requiere que $\lambda$ sea $< 0$ , pero por una razón más fundamental que el requisito técnico de que la respuesta implique funciones trigonométricas.

La ecuación $T'' = \lambda T$ dice que la aceleración de la cuerda es proporcional al desplazamiento. Si la constante $\lambda$ fuera positivo, diría que cuanto más lejos estuviera la cuerda de la posición media de reposo, más rápido se estaría acelerando, por lo que la cuerda no estaría vibrando de un lado a otro, sino que se estaría alejando a un ritmo cada vez más rápido.

El signo negativo en $\lambda$ garantiza que la cuerda se comporte como un oscilador armónico simple: al desplazarse de su posición media, existe una fuerza de restauración que tira de ella hacia esta posición media (en lugar de acelerarla cada vez más lejos de esta posición), de modo que realmente vibra .