Con el axioma de elección, podríamos tener algunas consecuencias entre $2^{\aleph{\alpha}}$y $\aleph{\alpha}$ o algunos otros cardenales sin tener que construir un mapa. Si sin AC, no se define la cardinalidad de $2^{\aleph{\alpha}}$. ¿Podemos construir un surjection de $\mathcal{P} (\aleph{\alpha})$ $\aleph_{\alpha+1}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, tenga en cuenta que su reclamo
sin AC, la cardinalidad de a $2^{\aleph_\alpha}$ no está definido
es falso. La cardinalidad de un conjunto es definible, con o sin opción (aunque sin elección, la forma de definir "cardinalidad" es más complicado). Lo cierto es que sin elección, no podemos probar que la cardinalidad de a $2^\kappa$ $\aleph$- número.
(Por cierto, incluso con la opción de que no podemos demostrar que $\aleph$-número algo como $2^{\aleph_0}$ es - por ejemplo, es consistente con ZFC que $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, pero es también consistente con ZFC que $2^{\aleph_0}=\aleph_{\omega^2+17}$.)
Ahora a tu pregunta:
Sí, ZF solo demuestra que hay un surjection de$\mathcal{P}(\aleph_\alpha)$$\aleph_{\alpha+1}$.
La clave es la siguiente observación: $\aleph_\alpha$ es infinita bien disponible por definición, y $\aleph_{\alpha+1}$ es la cardinalidad del conjunto de isomorfismo tipos de órdenes de subconjuntos de a $\aleph_\alpha$. Para probar esto, muestran que la primera de $\aleph_{\alpha+1}$ es la cardinalidad del conjunto de los números ordinales de cardinalidad $\le\aleph_\alpha$ (pensar acerca de por qué $\aleph_1$ es la cardinalidad del conjunto de contables ordinales) y, a continuación, tratar de mostrar que cada ordinal de cardinalidad $\le\kappa$ puede ser representado por un pedido de un subconjunto de a $\kappa$.
Dada la afirmación anterior, podemos ahora construir la deseada surjection $o$. Desde $\aleph_\alpha$ es infinito y bien disponible, hay un bijection $b$ $\mathcal{P}(\aleph_\alpha)$ $\mathcal{P}(\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha)$(ejercicio). Para $A\in\aleph_\alpha$, vamos a $o(A)$ se define de la siguiente manera:
Si $b(A)$ es un buen orden de un subconjunto de a$\aleph_\alpha$, $o(A)$ es el ordertype de $b(A)$.
De lo contrario, $o(A)$ es el ordertype de la costumbre de comprar en la $\aleph_\alpha$.
El mapa de $o$ (ejercicio) un surjection de $\mathcal{P}(\aleph_\alpha)$ para el conjunto de ordenamientos de subconjuntos de a $\aleph_\alpha$; así que hemos terminado.
Curiosamente, ZF, ¿ no demostrar que no es una inyección de$\aleph_{\alpha+1}$$\mathcal{P}(\aleph_\alpha)$! E. g. el axioma de determinación implica que no hay inyección de$\aleph_1$$2^{\aleph_0}$.
