Demuestre que:$x^2+y^2+z^2=2xyz$ no tiene respuesta sobre$\Bbb{N}$

Question

Demuestre que:$x^2+y^2+z^2=2xyz$ no tiene respuesta sobre$\Bbb{N}$

ps
¿¿ahora que??

Answer 1

Utilizamos un clásico infinito descenso argumento.

Tenga en cuenta que el lado derecho es par, entonces el lado izquierdo debe ser. De ello se desprende que dos de $x$, $y$, $z$ son impares y la tercera aún, o todos los tres son incluso.

Pero dos impares y uno incluso es imposible, para, a continuación, el lado derecho es divisible por $4$ y el lado izquierdo es no.

Así $x=2x_1$, $y=2y_1$, $z=2z_1$ para algunos enteros $x_1$, $y_1$, $z_1$.

Sustituyendo obtenemos $x_1^2+y_1^2+z_1^2=4x_1y_1z_1$.

Repita el argumento. Nos encontramos con que $x_1=2x_2$, y así sucesivamente, con $x_2^2+y_2^2+z_2^2=8x_2y_2z_2$.

De continuar. Llegamos a la conclusión de que $x$, $y$, $z$ son cada divisible por arbitrariamente altas potencias de $2$, por lo que son todos los $0$.

Answer 2

En 1907, A. Hurwitz considera $$ x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = x \, x_1 x_2 \cdots x_n $$ Las conclusiones, con todas las $x_i \geq 0$ enteros y $x$ un entero, incluida $x \leq n.$ lo principal, sin embargo, es que, por un par de $n,x,$ todas las soluciones recogidas en un conjunto finito de árboles de raíces. Viajar dentro de un árbol es "Vieta a Saltar." Llamó a un árbol de raíz un Grundlösung, generalmente me dicen solución fundamental. Él dio suficiente desigualdades para encontrar todas las soluciones fundamentales para cualquier par de $n,x,$ mostrar cuando no había soluciones reales utilizando ese par.

hacer jpeg, sólo un minuto

Answer 3

$2xyz$ even$\rightarrow$$x$ even y$y$,$z$$\in$ odd OR$x$,$y$,$z$$\in$ incluso

1. $x=2k$ $y$,$z$$\in$impar:

$4k^2 + y^2 + z^2 = 4kyz$

$4k(k-yz) +y^2 + z^2 = 0$

Tenemos este problema:$4|y^2 + z^2$ so$y$ o$z$ debe ser par pero impar.

2. $x=2k, y=2l, z=2m$:

$4k^2 + 4l^2 + 4m^2 = 16klm$

$k^2 + l^2 + m^2 = 4klm$

Y el problema es infinito (el problema es el mismo que al principio: 4 en lugar de 2 nada cambia) pero$x,y,z$ debe ser finito.

No hay respuesta sobre$\Bbb{N}$