Representación compleja de una matriz cuaterniónica

Question

Es evidente que a la derecha del módulo de $\mathbb{H}^n$ $\mathbb{C}$- linealmente isomorfo a$\mathbb{C^{2n}}$, con la correspondiente isomorfismo $\nu : \mathbb{C^{2n}} \to\mathbb{H}^n $$ \nu(a,b) = a + b\mathrm{j}$. Este naturaly da representación por cualquier quaternionic matriz $M \in \mathcal{M}^{n \times m}(\mathbb{H}) $ dos matrices complejas $A,B \in \mathcal{M}^{n \times m}(\mathbb{C})$$M = A + B\mathrm{j}$.

Se supone que la complejidad de la matriz que representa a $\nu^{-1}M\nu$, en paralelo con la representación compleja de la cuádrupla número puede ser escrito en la forma
$$ \theta_{n,m}(M) = \theta_{n,m}(a+B\mathrm{j}) = \left[\begin{matrix} A & B \\ -\overline B & \overline{A} \end{de la matriz}\right]$$ donde $\overline{A}$ es un complejo conjugado. Sin embargo, lo que no entiendo es que hay esta la conjugación de vino y necesito tu ayuda.

Cuando escribo $$ \nu^{-1}M\nu(a,b) = \nu^{-1}(A +B\mathrm{j})(a + b\mathrm j) =\nu^{-1}\left(Aa + Ab\mathrm{j} + B\overline{a}\mathrm{j} -B\overline b\right) = \left( Aa - B\overline{b}, Ab + B\overline a \right) $$ No tengo ninguna idea de qué hacer con los conjugados para mostrar que este mapa lineal.

Answer 1

En primer lugar, quiero agradecer a Jyrki Lahtonen, el Charrán Ártico y mathreadler para elevar mi entendimiento.

La clave de la razón de mi confusión en el uso de la izquierda de la matriz sobre el vector de la multiplicación en el derecho del módulo de $\mathbb{H}^n$. Resulta que en derecho módulos sería seguro sólo para uso correspondiente de la matriz de anillo que actúa sobre el módulo de la derecha. Por lo tanto, si suponemos que el mapa de $\nu$ también actúan desde la derecha $(a,b)\nu = a + b\mathrm{j} $ podemos conseguir el resultado deseado $$ (a,b)\nu M \nu^{-1} = (a +b\mathrm{j})(a +B\mathrm{j})\nu^{-1} = ( aA + aB\mathrm{j} +b\overline{A}\mathrm{j} -b\overline{B} )\nu^{-1} = (aA - b\overline{B},aB + b\overline{A}) $$ que: correcta representación de la matriz de si asumimos que $aA \triangleq A^\top a^{(\top)}$.

De lo contrario, podemos definir $\mathbb{H}^n$ como un módulo de la izquierda y obtener resultados similares.

Por lo que podemos pensar realmente de $\theta_{n,m}$, como el cambio de las listas de éxitos mundiales si nos ponemos a pensar quaternionc de la matriz M como (no lineal) de la función de $\mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^m $.