Duro integral logaritmo con

Question

Vamos

$$ I = \int_0^{\infty} \ln{\left(\frac{a^s + x^s}{b^s + x^s}\right)}dx$$

suponiendo $a>0$, $b>0$, y $s>1$. (Sería genial si alguien podría explicar por qué los $s$ debe satisfacer este para garantizar la convergencia.)

Integración por partes de los rendimientos(después de un molesto límite)

$$I = s(a^s - b^s) \int_0^{\infty} \frac{x^s}{(a^s + x^s)(b^s + x^s)}dx$$

Creo que esta forma de la integral podría estar listo para el contorno de integración, sin embargo malabares con los posibles cortes de ramas de $x^s$ junto con los postes en soluciones de $x^s = -a^s$, e $x^s = -b^s$ me hace pensar que esta podría no ser la mejor solución.

Tal vez allí podría ser una mejor manera de acercarse a la integral original?

Answer 1

Vamos $$ I(a,b,s)=\int_{0}^{+\infty}\log\left(\frac{a^s+x^s}{b^s+x^s}\right)\,dx.$$ En un buen barrio de origen, el integrando de la función se comporta como $s\log\left(\frac{a}{b}\right)$ y dicha función es continua en $\mathbb{R}^+$. Asumiendo $s>0$, su límite como $x\to +\infty$$\log(1)=0$. Mediante el establecimiento $a^s=A, b^s=B$, tenemos $$ \int_{0}^{M}\log(A+x^s)\,ds = \frac{1}{s}\int_{0}^{M^s}\log(A+t) t^{1/s}\frac{dt}{t}= \left[t^{1/s}\log(A+t)\right]_0^{M^s}-\int_{0}^{M^s}\frac{dt}{t^{1/s}(A+t)} $$ y $$\int_{0}^{M}\log\left(\frac{A+x^s}{B+x^s}\right)\,dx=\left[t^{1/s}\log\left(\frac{A+t}{B+t}\right)\right]_0^{M^s}-\int_{0}^{M^s}\frac{(B-A)\,dt}{t^{1/s}(A+t)(B+t)}.$$ Como $M\to +\infty$, el plazo $\left[\ldots\right]_{0}^{M^s}$ tiene un límite finito iff $s\geq 1$, pero con el fin de que $\frac{1}{t^{1/s}}$ es integrable en un buen barrio de el origen necesitamos $s>1$. Con ese supuesto todo lo que en realidad es convergente y se puede decir $$\int_{0}^{+\infty}\log\left(\frac{A+x^s}{B+x^s}\right)\,dx=(A-B)\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{t^{1/s}(A+t)(B+t)}.$$ Desde $$\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{t^{1/s}(A+t)}=\frac{1}{A^{1/s}}\int_{0}^{+\infty}\frac{du}{u^{1/s}(1+u)}=\frac{\pi}{a\sin\frac{\pi}{s}}$$ por la función Beta de Euler y la reflexión de la fórmula para el $\Gamma$ función, tenemos: $$\boxed{\forall s>1,\qquad \int_{0}^{+\infty}\log\left(\frac{a^s+x^s}{b^s+x^s}\right)\,dx=\frac{\pi (a-b)}{\sin\frac{\pi}{s}}.}$$