Probar la desigualdad utilizando la integral doble

Question

Si se trata de una desigualdad conocida o un duplicado - lo siento, iv'e buscado en el archivo de preguntas y en otros lugares, no encontró nada similar.

Sea $f$ sea una función continua positiva sobre el intervalo $[a,b]$ .

Demuestra la desigualdad: $$ \int_{a}^{b}f(x)dx \cdot \int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)}dx \geq(b-a)^2 $$

utilizando integrales dobles.

iv'e intentado definir $g(x,y)=\frac{f(y)}{f(x)}$ e integrando sobre el cuadrado $[a,b]\times[a,b]$ por lo que obtenemos $\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\frac{f(y)}{f(x)}dxdy=\int_{a}^{b}f(y)dy \cdot \int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)}dx$ y la integral doble es entonces igual al volumen bajo $g(x,y)$ y sobre el cuadrado mencionado. no consiguió demostrar que el volumen es al menos $(b-a)^2$ .

Answer 1

El método de la integral doble:

Prueba . $\blacktriangleleft$ \begin{align*} \int_a^b f \int_a^b \frac 1 f &= \int_a^b f(x)\mathrm dx \int_a^b \frac 1{f(y)} \mathrm dy\\ &= \iint_{[a,b]^2} \frac {f(x)}{f(y)} \mathrm dx \mathrm dy. \end{align*} También, \begin{align*} \int_a^b f \int_a^b \frac 1 f & = \int_a^b f(y)\mathrm dy \int_a^b \frac 1{f(x)}\mathrm dx\\ &= \iint_{[a,b]^2} \frac {f(y)}{f(x)} \mathrm dx \mathrm dy \end{align*} Por lo tanto \begin{align*} \int_a^b f \int_a^b \frac 1 f &= \frac12 \iint_{[a,b]^2} \left( \frac {f(x)} {f(y)} + \frac {f(y)} {f(x)}\right)\mathrm dx \mathrm dy\\ &\geqslant \iint_{[a,b]^2} \sqrt{\frac {f(x)} {f(y)} \cdot \frac {f(y)} {f(x)}} \mathrm dx \mathrm dy \\ &= (b-a)^2. \blacktriangleright \end{align*}

Answer 2

Utilizando Cauchy-Schwarz como sugiere Lord Shark el Desconocido,

\begin{multline}\left|b-a\right|^{2}=\left|\int_{a}^{b}dx\right|^{2}=\left|\int_{a}^{b}\sqrt{f(x)}\frac{1}{\sqrt{f(x)}}dx\right|^{2}\leq\int_{a}^{b}\left|\sqrt{f(x)}\right|^{2}dx\int_{a}^{b}\left|\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\right|^{2}dx\\=\int_{a}^{b}f(x)dx\int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}dx.\end{multline}

Hemos utilizado el hecho de que la función $f$ es positiva, pero no hemos aprovechado el hecho de que es continua. De hecho, esto debería funcionar para cualquier función positiva integrable $f$ .