Definición de anillo / campo ordenado

Question

Una forma para definir un anillo de pedida es como un anillo con un % del total de la orden $\leq$, satisfaciendo

1. $x\leq y\implies x+z\leq y+z$;
2. $0\leq x$ y $0\leq y\implies 0\leq xy$.

Duele al volver a colocar 1. con la condición de

1. $x<y x=""></y>

¿Y para los campos?

Answer 1

Si se define $$x < y ⇔ (x ≤ y ~\text{and}~ x≠ y),$$ tenga en cuenta que $$(A)~~ x = y ⇒ x + z = y + z \quad \text{and}\quad (B)~~x ≠ y ⇒ x + z ≠ y + z.$$ Ahora "(A) y (3) ⇒ (1)" y "(1) y (B) ⇒ (3)" son claros caso de la diferenciación.

(A) es siempre verdadera y (B) (siendo el opuesto (A)) es verdadera si la adición es derecho-cancelables (que siempre tiene para los anillos).

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Si usted piensa acerca de semi-anillos, considere la posibilidad de $ℕ_0 = (ℕ_0,·,\max,≤)$ con la noción usual de "$≤$". Este es un semi-anillo. Tenga en cuenta que $0 < 1$, pero $0·0 = 0·1$, donde (1) y (2) sin duda espera.

(Si desea una multiplcative identidad, se extienden por $∞$, la definición de $0·∞ = 0$ $n·∞ = ∞$ más. Esto debería funcionar – no estoy seguro, sin embargo.)

Answer 2

Ciertamente, si sabes (3), entonces (1) es una consecuencia fácil. Por otro lado, si sabes (1), usted podría preocuparse que usted tiene un caso cuando $x