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Paradoja del mundo cerrado - El que no sabe nada no puede creer nada

Digamos que tenemos el siguiente modelo:
Hay un conjunto de personas $A_1,...,A_n$ Esto se divide en dos grupos: Los que siempre dicen la verdad, y los que siempre mienten.

Ahora, cada persona de este conjunto hace una declaración sobre algunas otras personas del conjunto, por ejemplo $A_1$ podría decir " $A_3$ y $A_4$ son mentirosos, y $A_5$ es un contador de la verdad".

El teorema que he deducido (y del que pregunto si es correcto):
Independientemente de las declaraciones que nos den, para cualquier persona la conjetura de si es mentirosa o veraz nunca será mejor que el puro azar.

Sketch: Modelaremos los enunciados como una fórmula en lógica proposicional, luego deduciremos todos los modelos y mostraremos que hay igualmente muchos modelos en los que una persona $A$ es un revelador de la verdad, ya que hay modelos en los que $A$ es un mentiroso.

Prueba:

Digamos que una persona $A$ dice que $B_1,...,B_n$ son los que dicen la verdad y $C_1,..,C_n$ son mentirosos.
Entonces hay dos posibilidades:

  1. $A$ es un contador de la verdad. Entonces las afirmaciones son todas verdaderas.

  2. $A$ es un mentiroso. Entonces las declaraciones son todas falsas.

Digamos que el predicado $T(\cdot)$ significa ser un contador de la verdad, por lo que $T(A)$ es verdadera si $A$ es un contador de la verdad. Entonces podemos construir la fórmula

$$\,\bigg(T(A) \land T(B_1)\land ... \land T(B_n) \land\lnot T(C_1)\land ...\land\lnot T(C_n)\bigg) \lor\bigg(\lnot T(A) \land \lnot T(B_1)\land ... \land \lnot T(B_n) \land T(C_1)\land ...\land T(C_n)\bigg) $$ para la persona $A$ , y para cada otra persona otra que se verá así.

La fórmula completa es entonces la conjunción ( $\land$ ) de todas las fórmulas como la anterior para cada persona del conjunto.

Ahora digamos que $v$ es un modelo de nuestra fórmula. Entonces, para cada fórmula como la anterior, el lado izquierdo de la disyunción o el lado derecho de la disyunción tiene que ser verdadero.
Digamos que wlog el lado izquierdo es verdadero.

Entonces, si construimos la interpretación $v'$ invirtiendo cada asignación (es decir $v'(A):= \lnot v(T(A)) $ ), en la fórmula anterior ahora el lado derecho es verdadero.

Por lo tanto, tenemos para cada modelo donde $A$ es un contador de la verdad un doble donde $A$ es un mentiroso, y por lo tanto, cualquier deducción que hagamos nunca podrá ser mejor que el puro azar.

Mi pregunta es: ¿Es correcta mi prueba? ¿Es correcta mi deducción? Me parece mal que toda esta información no sirva para nada.

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Si $A_1$ dice " $A_1$ y $A_2$ son mentirosos", entonces se puede deducir que $A_1$ es un mentiroso y $A_2$ es un contador de la verdad. ¿Está rechazando la autorreferencia ("una afirmación sobre algún otros personas")?

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@User Tu versión iría en contra de mi modelo: un mentiroso nunca diría "soy un mentiroso". Tanto el que dice la verdad como el mentiroso siempre dirán "soy un vendedor de la verdad". Así que la autorreferencia no cambiaría la fórmula proposicional (añadirías a la primera disyunción $T(A)$ que ya está ahí)

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@Sudix: Un mentiroso puede decir "yo y ese otro tipo somos unos mentirosos", si (y sólo si) el otro tipo es un mentiroso, porque entonces toda la afirmación sería una auténtica mentira. Nótese que esto es diferente a decir "yo soy un mentiroso" y "ese otro tipo es un mentiroso" por separado .

4voto

sewo Puntos 58

En tu modelo donde nadie puede hacer afirmaciones compuestas (significativas), lo que observas es:

  • $A$ dirá " $B$ es un mentiroso" si y sólo si $A$ y $B$ pertenecen a diferentes grupos .

  • $A$ dirá " $B$ es un contador de la verdad" si y sólo si $A$ y $B$ pertenecen a la el mismo grupo.

Entonces nada de lo que escuches será diferente si todos cambian de lado a la vez.

Eso no significa que aprendas nada de toda la información. Podrás reconstruir cuáles son los dos grupos, pero no cuál de ellos es el de los mentirosos y cuál el de los que dicen la verdad.

En otras palabras, escuchar las pruebas de todos reducirá la $2^n$ posibles distribuciones de los mentirosos y los que dicen la verdad hasta $2$ -- eso no es "nada".

3voto

Simon Terrington Puntos 116

Creo que tienes razón al decir que no puede ser que toda esta información quede en nada.

Por lo tanto, parece que usted no permite la auto-referencia, ya que dice que cada persona hace declaraciones sobre otras personas.

¿Qué te parece esto? A dice que B siempre dice la verdad. Esto significa que ambos dicen la verdad o ambos mienten, por lo que son equivalentes. Entonces, como se describe en el primer comentario, B dice que A y C son ambos mentirosos.

Si B dice la verdad, entonces A es un mentiroso y esto significa que B es un mentiroso (porque A dijo que B siempre dice la verdad).

Así que B no puede decir la verdad, lo que significa que debe ser un mentiroso. Así que A es un mentiroso, pero como A es un mentiroso, podemos deducir que C dice la verdad (porque sabemos que B es un mentiroso y (s)he dicho que A y C ambos mienten.

Por lo tanto, sabemos cosas :)

En realidad, tuve dos pensamientos más mientras lavaba los platos.

Si prohibimos los ciclos autorreferenciales tal y como se han utilizado anteriormente, todavía podemos progresar. Alguien que diga que $1+1=2$ sería un contador de la verdad y $1+1=3$ indicaría un mentiroso constante. Si sólo permitimos comentarios sobre la capacidad de los demás para mentir y decir la verdad, entonces decir $A$ dice la verdad y $A$ no dice la verdad' debe indicar un mentiroso y ' $A$ dice la verdad implica $A$ dice la verdad" o cualquier otra tautología debe indicar que se dice la verdad.

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Lo he comprobado, y tu escenario no tiene ningún modelo, es decir, es una antilogía.

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OK, así que puede valer la pena un vistazo más. El modelo es: A es un mentiroso, B es un mentiroso y C dice la verdad. Veamos por qué esto funciona. A dice que B dice la verdad. Esto es una mentira, lo cual está bien porque A es un mentiroso. B dice que A y C son mentirosos. Esto es una mentira porque C dice la verdad. Y esto está bien porque B es un mentiroso.

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Pero en su escenario, $B$ es un mentiroso, que dice una verdad, es decir, que $A$ es un mentiroso. El modelo requiere que un mentiroso "siempre" mienta: ni una sola palabra que pronuncie es una verdad

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