Digamos que tenemos el siguiente modelo:
Hay un conjunto de personas $A_1,...,A_n$ Esto se divide en dos grupos: Los que siempre dicen la verdad, y los que siempre mienten.
Ahora, cada persona de este conjunto hace una declaración sobre algunas otras personas del conjunto, por ejemplo $A_1$ podría decir " $A_3$ y $A_4$ son mentirosos, y $A_5$ es un contador de la verdad".
El teorema que he deducido (y del que pregunto si es correcto):
Independientemente de las declaraciones que nos den, para cualquier persona la conjetura de si es mentirosa o veraz nunca será mejor que el puro azar.
Sketch: Modelaremos los enunciados como una fórmula en lógica proposicional, luego deduciremos todos los modelos y mostraremos que hay igualmente muchos modelos en los que una persona $A$ es un revelador de la verdad, ya que hay modelos en los que $A$ es un mentiroso.
Prueba:
Digamos que una persona $A$ dice que $B_1,...,B_n$ son los que dicen la verdad y $C_1,..,C_n$ son mentirosos.
Entonces hay dos posibilidades:
-
$A$ es un contador de la verdad. Entonces las afirmaciones son todas verdaderas.
-
$A$ es un mentiroso. Entonces las declaraciones son todas falsas.
Digamos que el predicado $T(\cdot)$ significa ser un contador de la verdad, por lo que $T(A)$ es verdadera si $A$ es un contador de la verdad. Entonces podemos construir la fórmula
$$\,\bigg(T(A) \land T(B_1)\land ... \land T(B_n) \land\lnot T(C_1)\land ...\land\lnot T(C_n)\bigg) \lor\bigg(\lnot T(A) \land \lnot T(B_1)\land ... \land \lnot T(B_n) \land T(C_1)\land ...\land T(C_n)\bigg) $$ para la persona $A$ , y para cada otra persona otra que se verá así.
La fórmula completa es entonces la conjunción ( $\land$ ) de todas las fórmulas como la anterior para cada persona del conjunto.
Ahora digamos que $v$ es un modelo de nuestra fórmula. Entonces, para cada fórmula como la anterior, el lado izquierdo de la disyunción o el lado derecho de la disyunción tiene que ser verdadero.
Digamos que wlog el lado izquierdo es verdadero.
Entonces, si construimos la interpretación $v'$ invirtiendo cada asignación (es decir $v'(A):= \lnot v(T(A)) $ ), en la fórmula anterior ahora el lado derecho es verdadero.
Por lo tanto, tenemos para cada modelo donde $A$ es un contador de la verdad un doble donde $A$ es un mentiroso, y por lo tanto, cualquier deducción que hagamos nunca podrá ser mejor que el puro azar.
Mi pregunta es: ¿Es correcta mi prueba? ¿Es correcta mi deducción? Me parece mal que toda esta información no sirva para nada.
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Si $A_1$ dice " $A_1$ y $A_2$ son mentirosos", entonces se puede deducir que $A_1$ es un mentiroso y $A_2$ es un contador de la verdad. ¿Está rechazando la autorreferencia ("una afirmación sobre algún otros personas")?
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@User Tu versión iría en contra de mi modelo: un mentiroso nunca diría "soy un mentiroso". Tanto el que dice la verdad como el mentiroso siempre dirán "soy un vendedor de la verdad". Así que la autorreferencia no cambiaría la fórmula proposicional (añadirías a la primera disyunción $T(A)$ que ya está ahí)
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@Sudix: Un mentiroso puede decir "yo y ese otro tipo somos unos mentirosos", si (y sólo si) el otro tipo es un mentiroso, porque entonces toda la afirmación sería una auténtica mentira. Nótese que esto es diferente a decir "yo soy un mentiroso" y "ese otro tipo es un mentiroso" por separado .
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@HenningMakholm En eso estoy tropezando... Más o menos me refería a la cuestión de que "un mentiroso siempre miente" cualquier afirmación de un mentiroso se compone únicamente de afirmaciones que son mentira.
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@Sudix: Así que un "mentiroso" según tu definición es incapaz de pronunciar las palabras "no es cierto que..." -- porque no importa el "...", o eso o toda su declaración no sería una mentira?
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@HenningMakholm Véalo como este escenario alternativo: Tenemos dos grupos, $A$ y $B$ . Las personas de cada grupo pretenden ser el grupo $A$ . Así, una persona en $A$ siempre dirá la verdad, si le preguntas en qué grupo está una persona. Por el contrario, una persona en $B$ siempre mentirá si le preguntas en qué grupo está una persona.
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@Sudix: Entonces lo que dices es que lo único que alguien es capaz de decir siquiera son afirmaciones de la forma "fulano es/no es mentiroso", y todo el mundo ¿se le prohíbe hacer declaraciones compuestas?
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@HenningMakholm Sí, se suponía que era un modelo muy simple