Paso de funciones y la función característica de los racionales

Question

Una función de $t: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ se llama a una función de paso cuando un $k \in \mathbb{N}$ y números de $z_0,...,z_k$ $a = z_0 \leq z_1 \leq ... \leq z_k = b$ existe, tal que para todos los $i \in \{1,2,...k\}$ la restricción $t |_{(z_{i-1},z_{i})}$ es constante. Deje $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ ser definido por $$f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1, & \mbox{if} & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & \mbox{if} & x \notin \mathbb{Q} \end{array} \right.$$

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(i) La función de $f$ es un punto de sabio límite del paso a paso de las funciones.

(ii) no es uniforme convergente la serie de funciones de paso, cuyo límite de la función es $f$.

Así que el libro que estoy leyendo menciona esta función Dirichlet todo el tiempo. Todavía estoy teniendo problemas para encontrar una solución a este ejercicio. Toda la ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Una sugerencia para la primera parte sería recordar que los racionales son contables, por lo que tomaría un número contable de "pasos" para "cubrir" (puesto que los irrationals son densos, usted necesitará bajar a 0 "entre" cada número racional), y que (b) uno podría aumentar th número de pasos (pero disminuir el tamaño de cada paso) para cada función de la secuencia en e.

Answer 2

Para la parte ii).

Si una secuencia de funciones integrables de Riemann $f_n$ converge uniformemente a $f$, entonces ¿qué puede decir sobre la integrabilidad de Riemann de $f$?

Parece que esta pregunta está tratando de señalar un inconveniente de la integración de Riemann, que, si no me equivoco, el descubrimiento de la integración de Lebesgue.