Demostrando que la curvatura viene dada por $\kappa = \frac{\|\gamma ' \times \gamma ''\|}{\|\gamma '\|^3}$

Question

Dada una curva espacial $\alpha(s)$ parametrizado por la longitud de arco (esto es $|\alpha'(s)|\equiv 1$ ), definimos que su curvatura es: $$\kappa (s)=|\alpha''(s)|$$

Ahora, he leído que dada una curva $\gamma(t)$ no necesariamente parametrizada por la longitud de arco, su curvatura viene dada por la fórmula

$$\kappa (t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma(t)|^3}$$

Al tratar de probar esto, no puedo obtener las variables $s$ y $t$ para que coincida en ambos lados de la ecuación, así que si alguien puede señalar y explicar mi error, sería genial. Mi razonamiento es el siguiente:

Si pensamos en $\gamma(s)$ como $\gamma(t(s))$ y luego derivar con respecto a $s$ da, por la regla de la cadena:

$$\frac{d}{ds}\gamma(s)=\gamma'(t(s))t'(s)$$

$$\frac{d^2}{ds^2}\gamma(s)=\gamma''(t(s))(t'(s))^2 + \gamma'(t(s))t''(s)$$

De ello se desprende que:

$$\left (\frac{d}{ds}\gamma(s) \right )\times \left (\frac{d^2}{ds^2}\gamma(s) \right )=[\gamma'(t(s))\times \gamma''(t(s))](t'(s))^3$$

Pero también tenemos:

$$\left \| \left (\frac{d}{ds}\gamma(s) \right )\times \left (\frac{d^2}{ds^2}\gamma(s) \right ) \right \|=\left \| \left (\frac{d}{ds}\gamma(s) \right ) \right \| \left \|\left (\frac{d^2}{ds^2}\gamma(s) \right ) \right \|\sin \left ( \left (\frac{d}{ds}\gamma(s) \right ),\left (\frac{d^2}{ds^2}\gamma(s) \right ) \right )$$

$$=\left \|\frac{d^2}{ds^2}\gamma(s) \right \|=\kappa (s)$$

Juntando todo esto, y usando eso $t'(s)=\frac{1}{|\gamma'(t(s))|}$ nos encontramos con que:

$$\kappa(s)=\frac{\left \| \gamma'(t(s)) \times \gamma''(t(s))\right \|}{\left \| \gamma '(t(s))\right \|^3}$$

No $t=t(s) \iff s=s(t)$ Por lo tanto:

$$\kappa(s(t))=\frac{\left \| \gamma'(t) \times \gamma''(t)\right \|}{\left \| \gamma '(t)\right \|^3}$$

El lado derecho de esta última ecuación coincide con lo que quería demostrar, pero debería ser simplemente $t$ en lugar de $s(t)$ en el lado izquierdo. ¿Dónde me he equivocado?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tu cálculo está bien.

Observe que $\kappa $ se define en términos de la parametrización de la longitud de arco y, por tanto, si se nos da cualquier otra parametrización $\vec r :[a,b]\to \mathbb R^3$ entonces

$s_0=s(t_0)=\int_{a}^{t_0}\left \| \vec r'(u) \right \|du$ por lo que podemos escribir

$\kappa (s_0)=|\alpha''(s_0)|\Rightarrow \kappa (s_0)=|\frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} s^{2}}(\alpha(s_0))|=|\frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} s^{2}}(\alpha(s(t_0)))|$ que dice que

$\kappa (s(t_0))=\left | \frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} s^{2}}(\alpha(s(t_0))) \right |$ .

Esto es cierto antes de hacer cualquier cálculo.

El problema es que la RHS es una segunda derivada con respecto a $s$ . Su cálculo simplemente lo expresa como una función de $t$ utilizando la regla de la cadena.