Positividad de $\int_0^1 \sin^2(kx)f(x) dx$

Question

Estoy interesado en restricciones demostrando en $f$ necesaria para la integral\begin{equation} \int_0^1 \sin^2 (kx) f(x) dx \end{ecuación } para ser positiva para todas las $k > 0$. Obviamente un no negativo $f$ sería suficiente (siempre fue positivo en un sistema de medida distinto de cero). Me pregunto si hay condiciones menos restrictivas que pueden colocarse en $f$. Gracias de antemano.

Answer 1

Una respuesta parcial: la pregunta es menos trivial de lo que yo inicialmente se sospecha.

Es práctico considerar que $\sin^2(kx)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2kx)\right)$.
Asumiendo $f\in L^2(0,1)$ nos permite escribir $$ f(x) \stackrel{L^2(0,1)}{=} c_0 + \sum_{n\geq 1} c_n \cos(2\pi n x)+\sum_{n\geq 1} s_n \sin(2\pi n x) $$ donde $c_0$ tiene que ser no negativo como consecuencia de la de Riemann-Lebesgue lema.

Considerando $k=\pi n$ $n\in\mathbb{N}^+$ conseguimos que cada una de las $c_n$ se $\leq 2c_0$.
Esto deja suficiente espacio para un montón de algún lado negativo de las funciones de cumplimiento de las restricciones para cada $k\in \pi\mathbb{N}$, como

$$ \pi^2 x(1-x)+1-\frac{\pi^2}{6} = 1-\sum_{n\geq 1}\frac{\cos(2\pi n x)}{n^2} $$ lo que puede ser demostrado cumplir con las limitaciones para cualquier $k>0$, ouch!

Así que mi conjetura es que el argumento tiene iff los coeficientes de Fourier coseno de la serie de $f(x)+f(-x)$ $(0,1)$ cumplir con un conjunto de desigualdades a ser descubierto. $f\geq 0$ es definitivamente no es necesario.

Answer 2

También una respuesta parcial

Si $f$ puede ser continuado a toda una función, se puede utilizar el teorema de los residuos.

Su integral (dejar ser $J$) es igual a $$J=\int^\infty_1\frac{\sin^2(k/u)f(1/u)}{u^2}du$$

Considere la integral de contorno $$\oint_C \frac{\sin^2(k/z)f(1/z)\ln(z-1)}{z^2}dz$$ donde $C$ es un ojo de la cerradura de contorno.

($\arg(z-1)\in[0,2\pi)$)

Obviamente, la integral alrededor de $z=1$ y el gran círculo integral desaparecer.

Las integrales a lo largo de la parte superior e inferior del eje real se combinan para dar a $-2\pi iJ$.

Por el teorema de los residuos, $$J=-\operatorname*{Res}_{z=0}$$

Vamos $$f(z)=\sum^\infty_{n=0}a_nz^n$$ $$\sin^2(k/z)\ln(z-1)=\sum^\infty_{j=-\infty}b_j z^j$$

A continuación, $$\operatorname*{Res}_{z=0}=\sum^\infty_{n=0}a_n b_{1+n}$$

Para $J>0$, se requiere $$\color{red}{\sum^\infty_{n=0}a_n b_{1+n}<0}$$

Un análisis similar se puede hacer en meromorphic funciones.