Que $X=\mathbb{R^2}-\{0\}$ y $Y=S^1 \cup\{[0,1]\times\{0\}\}$. Demostrar o Disprove que $X$ es homeomorfa a $Y$.

Question

Deje $X=\mathbb{R^2}-\{0\}$$Y=S^1 \cup\{[0,1]\times\{0\}\}$. Probar o Refutar que $X$ es homeomórficos a $Y$.

Mis pensamientos:

Puesto que X es el perforado avión, en términos de retracción, creo que el $S^1$ es una deformación retact de $X$, de igual forma, el espacio de $Y$ es el círculo unitario con un extra de "tira" a lo largo de la $x- axis$ mismo que el radio. Y por lo $S^1$ es una deformación retractarse de $Y$.

Como resultado, los grupos fundamentales de ambos $X$ $Y$ es isomorfo al grupo fundamental de la unidad del círculo de $\pi_1(X,x_0) \approx \mathbb{Z} \approx \pi_1(Y,y_0)$ . ¿Este isomorfismo garantía de un homeomorphism entre los espacios de $X$$Y$? si no, hay una forma de appraoch que sin la participación fundamental de los grupos?

Answer 1

Puede desconectar $Y$ mediante la eliminación de dos puntos pero si quita dos puntos a $X$ está siempre conectado.

Answer 2

$Y$ es compacto, pero$X$ no lo es.

Pero$X$ y$Y$ son homotopy equivalentes. Ambos tienen$S^1$ como una retracción de deformación.

Answer 3

$HINT:$ Al eliminar el punto$(1,0)$ de$Y$, se desconecta. ¿Puedes encontrar ese punto en$X$?