Generalizado infinita integración por las piezas

Question

Durante mis estudios en calc 2, quedó fascinado por la integral de la $\int e^{-x^2}dx$ después de escuchar a la profesora que no tiene ninguna función primaria como de su integral. Me encontré con una interesante técnica para tratar la integral usando Integración por Partes, como así: $$\int e^{-x^2}dx=xe^{-x^2}+2\int x^2e^{-x^2}dx $$ $$\int e^{-x^2}dx=xe^{-x^2}+\frac {2} {3}x^3e^{-x^2}+\int x^4e^{-x^2}dx$$ y continuando de esta manera hasta que el patrón se hizo evidente, y se me ocurrió la siguiente ecuación: $$\int e^{-x^2}dx=e^{-x^2}\sum_{i=0}^{\infty} \frac {2^i} {(2i+1)!!}x^{2i+1}+C$$ where $(2i+1)!!$ denotes the double factorial $(2n+1)(2n-1)(2n-3)...(2 \text{ o } 1)$. From here, I thought about a generalized case for any infinitely differentiable function $f(x)$ and for an argument raised to any power $n$. $$\int f(x^n)dx $$ $$u=f(x^n), du=nx^{n-1}f'(x^n), dv=dx, v=x$$ $$\int f(x^n)dx=xf(x^n)-n\int x^nf'(x^n)dx$$ and eventually: $$=\sum_{i=0}^{\infty}\frac {(-n)^{i}x^{ni+1}} {(ni+1)(n(i-1)+1)...(n+1)(1)}f^{(i)}(x^n)+C$$ Mi pregunta es doble. Primero, ¿puedo hacer evidentes los errores, y la segunda, es que esta particular fórmula útil o novela?

Answer 1

Por favor, compruebe su $du$ en $$ u=f(x^n), du=nx^{n-1}f(x^n), dv=dx, v=x$ $

También revisar esta fórmula $$ \int f(x^n)dx=xf(x^n)-n\int x^nf(x^n)dx$ $

¿Cuál es la ventaja de su método en comparación con la integración de la serie de Taylor de una función?