Si los números$2$ son coprimarios, ¿implica que su diferencia también es primordial para esos números?

Question

Permita que$q$ y$p$ sean coprime. Y sin pérdida de generalidad, ya que$p$ y$q$ son intercambiables, deje$p>q$,$p=q+d$.

Si$p$ y$q$ son coprime, la fracción no se puede simplificar. Por lo tanto, podemos reescribir$p/q$ como$(q+d)/q$, y obtenemos$1+d/q$. Como la fracción de$p/q$ no se puede simplificar,$d/q$ tampoco se puede simplificar, por lo tanto,$d$ también es primo a$q$. [Podemos hacer el mismo argumento para$p$ también]. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Sí, si$d$ y$q$ tuvieran un factor común, también sería un factor de$d+q=p$. Este es el corazón del algoritmo euclidiano para el mayor divisor común.

Answer 2

Por supuesto que es. Si$q$ y$d$ tienen un factor común$f$:

$q = Qf$
$d = Df$

entonces

$p = q + d = (Q +D)f$

y más generalmente

$kq\pm md = (kQ \pm mD)f$

tendrá ese factor, también.