Trascendental números son números que no se pueden definir en el lenguaje del álgebra. Su existencia demuestra que los conceptos básicos de la aritmética no son suficientes para describir completamente todos los fenómenos que se producen en los números reales.
Los polinomios son precisamente las fórmulas en una variable que puede ser escrito utilizando solamente la suma, la resta y la multiplicación. Sí, se pueden escribir como una suma de monomials, y esta es una útil forma canónica, sino que lo convierte en una mala definición, a pesar del hecho de que es repetida tal cual sin cesar por los docentes de secundaria e incluso la universidad más fuentes de nivel. Por lo tanto, una ecuación polinómica con coeficientes racionales es cualquier ecuación que puede ser escrito utilizando los números racionales y el $+$ $\cdot$ signos. Por supuesto, mediante el uso de coeficientes negativos, esto también nos permite utilizar la $-$ si nos gusta. Además, una ecuación que utiliza también la división de siempre puede ser reducido a la forma $\frac {P(x)} {Q(x)}=0$ donde $P$ $Q$ son polinomios, y de allí a $P(x)=0$, por lo que si $x$ resuelve una ecuación que involucra la división, también resuelve una ecuación sin división. Y por último, cualquier número racional puede ser escrita utilizando las cuatro operaciones de aritmética y los números de $0$$1$.
Por lo tanto, una definición de un número algebraico es un número que satisface una fórmula escrita usando sólo $+, -,\cdot,\div, 0, 1$, e $=$. Si tenemos en cuenta este alfabeto (y asociados a la gramática) para ser el "lenguaje del álgebra", entonces, como una fórmula puede ser tomado como una definición de que el número escrito en ese idioma. $\sqrt 2$ se puede dar una definición. $\pi$ es generalmente definido haciendo referencia a la geometría, y cuál es su trascendencia significa es que tenemos necesidad de la geometría (o, al menos, algo más grande que el álgebra) para definir. Un trascendental número es uno en el que la única predicados escrito en el lenguaje de álgebra que el número se verifica el trivial de los predicados verificado por todos los números, como $x+x=2x$.
Se podría objetar que algo como $x^2=2$ realmente no se definen $\sqrt 2$, ya que después de todo lo que la ecuación también es cierto para $-\sqrt 2$. Esto es cierto, y de hecho esta idea conduce finalmente a la teoría de Galois. Los números de $\sqrt 2$ $-\sqrt 2$ no puede ser distinguido usando álgebra y los números racionales, en la misma forma en que $\pi$ no puede ser definida usando álgebra y los números racionales. En la teoría de Galois tenemos la idea de conjugar los números de más de un campo dado,$F$, que son números que no pueden ser distinguidos "desde el punto de vista de la $F$". Esto significa que cualquier frase escrita en el "lenguaje de los $F$" es verdadero para ambos elementos, o verdadero para ninguno de los dos. En resulta que siempre hay una fundamental "penas mínimas" - la mínima de polinomio tal que el conjugado números de $a$ son precisamente todos los números para hacer que la oración verdadera. Por lo tanto no podemos hacerlo mejor que el mínimo polinomio como una definición de " $a$ en el idioma de $F$ - es la frase verdadera para $a$ lo cual es cierto para la menor cantidad de otros elementos.
Recuerdo haber leído en alguna parte que hay una noción general de que en lógica se llama un "elemento trascendental" más de un idioma o de un sistema formal, o algo así, que básicamente es exactamente lo que he descrito: un elemento que se verifica ninguna de las frases en el idioma de las tautologías. Alguien que sabe más puede dejar un comentario o una respuesta.
