¿Cómo se basa la definición de Mandelbrot en el punto de partida de la iteración?

Question

Dejar $f_c(z)=z^2+c$. El conjunto de Mandelbrot es el subconjunto del plano complejo dado por

ps

donde$$M=\{c\in\mathbb{C}:\exists s\in\mathbb{R}^+,\forall n\in\mathbb{N},|f_c^{(n)}(0)|\leqslant s\},$ denota el$f_c^{(n)}$ - iterar de$n$. Dejar

ps

¿Cómo se relacionan estos conjuntos?

Answer 1

El conjunto de Mandelbrot es muy interesante, debido a que la ubicación de un complejo número de $c$ en el conjunto de Mandelbrot obtiene información acerca de la dinámica de la función de $f_c$ y acerca de la geometría de la Julia $J_c$. Esto es debido a la fuerte influencia de la crítica de la órbita (es decir, la órbita de la crítica punto cero). En general, las órbitas de puntos arbitrarios no tienen enorme influencia, así que no hay realmente ninguna razón para pensar que los conjuntos de $M_a$ muy interesante.

Sin embargo, se podría esperar algunas relaciones superficiales. Aquí están algunos apresurada reclamaciones apresurada en el sentido de que sólo he dado estos pocos minutos de pensamiento.

Similitudes

• Como $M$, la $M_a$ está delimitado por $\max(2,|a|)$ por cada $a\in\mathbb C$.
  • Debe seguir a partir de la ecuación cuadrática escapar de criterio.
• Como $M$, la $M_a$ es cerrado para cada $a\in\mathbb C$.
  • Por la continuidad de $f_c^n$, el complemento de a $M_a$ debe ser abierto.
• Como $M$, la $M_a$ no está vacía para cada $a\in\mathbb C$.
  • Yo estoy pensando en que $a-a^2\in M_a$ ya que, por $c=a-a^2$, obtenemos $$f_c(a) = a^2 + a - a^2 = a.$$ That is, $un$ is a fixed point of $f_c$ por lo que su órbita es ciertamente limitada.

Una diferencia

• A diferencia de $M$, la $M_a$ no necesita estar conectado.
  • Esto es sólo una cuestión de experimentación. El conjunto $M_1$, por ejemplo, se muestra a continuación.

Tenga en cuenta que esta imagen sugiere una brecha en el verdadero eje en torno al $c=-2.5$. De hecho, si calcular la órbita de $z=1$ bajo la iteración de $f_c(z)=z^2-2.5$, usted encontrará que el que se aparta a $\infty$. Si, sin embargo, calcular la órbita de $z=1$ bajo la iteración de $f_c(z)=z^2-3$, usted encontrará que es la delimitada dos ciclos de $1\to-2\to1$. Por supuesto, la órbita de $1$ se fija en $f_c(z)=z^2$. Esto sugiere que la brecha es genuino.

Answer 2

Cómo son estos conjuntos relacionados?

Ellos están relacionados por $M = M_0$ :)

Lo siento, no pude resistir la respuesta. Pero usted probablemente querrá saber cómo $M_a$ está relacionado con $M$ más en general. Dado $f_c$, definir $g_{c,a}(x) := f_c(x+a) - a = (x+a)^2 + (c-a).$, Entonces tenemos $$ f^n_c(a) = g_{c,a}^n(0). $$

Por lo tanto, $M_a$ es el equivalente del conjunto de Mandelbrot para polinomios cuadráticos con un lineal coeficiente incluido (nota nolinear coeficiente está presente en el polinomio cuadrático $f_c$, pero $g_{c,a}$ ha lineal coeficiente de $2a$).

Se podría definir un cuatro dimensiones de la versión del conjunto de Mandelbrot en los que consideramos que el comportamiento de todos los posibles polinomios $\boldsymbol{z^2 + bx + c}$ a afirmar a partir de $z = 0$. Esto sería de cuatro dimensiones, porque en la actualidad hay dos variables complejas, $a$$b$. A continuación, $M_a$ sería la rebanada de este cuatro-dimensional donde $b = 2a$, e $M$ sería el sector donde $b = 0$.