Maxwell en múltiples dimensiones: ¿Qué ocurre con curl?

Question

He leído esta respuesta hace un tiempo, y mientras pensaba en $\nabla$, me di cuenta de algo. Desde la cruz del producto puede ser escrito como un factor determinante, en las dimensiones superiores requerimos extra vector de entradas. Si mal no recuerdo se llama la "cuña de producto", en dimensiones superiores.

Bien, ¿cómo funciona esto cuando podemos generalizar Maxwell a las dimensiones superiores? Curl puede ser escrito (abuso de notación, sí) como un producto cruzado con $\nabla$. Pero, para generalizar a dimensiones superiores, tenemos varias entradas. Necesitamos algo como $\nabla_4(\mathbf{B_1},\mathbf{B_2})$ en cuatro dimensiones, y así sucesivamente. Así que tenemos dos maneras de salir de esto: se puede utilizar una forma diferente de escribir curl en múltiples dimensiones (La página de la wikipedia tiene cosas en esto que no entiendo), o que hay más de una $E$ $B$ campos en dimensiones superiores.

Así que es? Cómo son las leyes de Maxwell generalizado a las dimensiones superiores?

Sólo una nota: nunca he entendido el vinculado respuesta después de la primera frase (no sabía lo suficiente), así que si hay algo que es obvio que hay que responde a esta pregunta, me lo perdí. Yo no sé nada de mayores dimensiones de análisis, por lo que si una escritura compleja va a ser inevitable para las múltiples dimensiones, yo estaría bien si usted me mostró lo que ocurre en cuatro dimensiones.

Answer 1

Qmechanic la respuesta tiene todos los detalles, pero me imagino que puede ser útil para romper este en un poco más de detalle.

La forma correcta de generalizar las ecuaciones de Maxwell a la de mayores dimensiones de los espacios es utilizar el campo tensor $F^{\mu\nu}$. En nuestro normal 3+1D espacio, que básicamente se parece a esto:

$$F = \begin{pmatrix}0 & E_1 & E_2 & E_3 \\ -E_1 & 0 & B_{12} & B_{13} \\ -E_2 & -B_{12} & 0 & B_{23} \\ -E_3 & -B_{13} & -B_{23} & 0\end{pmatrix}$$

Si se aplica una matriz de rotación correspondiente a un espacial en 3D de rotación para este tensor, usted encontrará que mezcla los tres componentes $E_1$, $E_2$, y $E_3$, y por separado, mezcla de los tres componentes $B_{12}$, $B_{13}$, y $B_{23}$. La forma en que estos componentes de la mezcla es consistente con $E$ ser un vector en el espacio 3D y con $B$ ser independiente de vectores en el espacio 3D; por ejemplo, si gira por $\phi$ $z$ eje, usted encontrará que $E'_1 = E_1\cos\phi - E_2\sin\phi$$B_{23}' = B_{23}\cos\phi + B_{13}\sin\phi$. Haciendo esto por un par de rotaciones le permite a la conclusión de que $(E_1,E_2,E_3)$ son, respectivamente, el $(x,y,z)$ componentes de $\vec{E}$, $(B_{23},-B_{13},B_{12})$ $(x,y,z)$ componentes de $\vec{B}$.

Sin embargo, si se aplica una de Lorentz impulso (un cambio en la velocidad), que es solamente una rotación que incorpora la dimensión de tiempo, así como las tres dimensiones espaciales, usted encontrará que las mezclas de los componentes de $\vec{E}$ con los componentes de la $\vec{B}$. Nada en la teoría de la normal de vectores 3D permite que esto suceda. Así que si usted no sabía acerca de $F$, este sería el primer indicio de que $\vec{E}$ $\vec{B}$ realmente no son vectores, sino que son parte de alguna estructura más compleja. Este es, de hecho, exactamente lo que sucedió en la década de 1830-ish, cuando Michael Faraday descubrió que el movimiento de un imán pasado un alambre podría inducir una corriente eléctrica en el alambre. El impulso de Lorentz se corresponde con el imán en movimiento, y la rotación de los componentes de la $\vec{B}$ en componentes de $\vec{E}$ corresponde a la inducción de un campo eléctrico por el movimiento del imán. Faraday y los demás que sacó provecho de su trabajo más tarde en ese siglo, sabía lo suficiente como para reconocer que $\vec{E}$ $\vec{B}$ estaban relacionados de alguna manera, en una forma que el común de los vectores no se, pero no fue hasta la introducción de la relatividad especial que nadie creía que la actual estructura matemática que tanto $\vec{E}$ $\vec{B}$ son parte de (a saber, el tensor antisimétrico $F$).

De todos modos, una vez que sabes lo $F$ realmente parece, es sencillo generalizar a dimensiones superiores. En 4+1D, por ejemplo,

$$F = \begin{pmatrix}0 & E_1 & E_2 & E_3 & E_4 \\ -E_1 & 0 & B_{12} & B_{13} & B_{14} \\ -E_2 & -B_{12} & 0 & B_{23} & B_{24} \\ -E_3 & -B_{13} & -B_{23} & 0 & B_{34} \\ -E_4 & -B_{14} & -B_{24} & -B_{34} & 0\end{pmatrix}$$

Este tiene 4 elementos de la naturaleza eléctrica, pero 6 de magnético de la naturaleza. Si se aplica una 4D espacial de la matriz de rotación para esto, usted va a encontrar que los 4 componentes de la $E_1, E_2, E_3, E_4$ mezcla en la manera que usted espera de un 4D vector, pero el 6 de componentes magnéticos no. Así que si vivimos en un 4+1D universo, sería evidente que el campo magnético no es un vector, si nada más porque tiene más elementos de los que un 4+1D espacial del vector.

OK, entonces, ¿qué acerca de las ecuaciones de Maxwell? Bueno, resulta que puede expresar el producto cruzado en tres dimensiones utilizando el tensor antisimétrico $\epsilon^{\alpha\beta\gamma}$, el cual se define el componente de sabios de la siguiente manera:

• +1 si $\alpha\beta\gamma$ es una permutación cíclica de $123$
• -1 si se trata de una permutación cíclica de $321$
• 0 si cualquiera de los dos índices son iguales

Lo mismo va para el rizo; usted puede escribir el rizo operador en forma tensor como

$$\bigl(\vec\nabla\times\vec{V}\bigr)^\alpha = \epsilon^{\alpha\beta\gamma}\frac{\partial V_\beta}{\partial x^\gamma}$$

mediante el convenio de sumación de Einstein. Básicamente, cuando usted toma el rizo de un vector, está la construcción de todas las posibles antisimétrica combinaciones de los vectores, el operador de la derivada, y la dirección de la unidad de vectores:

$$\begin{matrix} \hat{x}_1 \frac{\partial V_2}{\partial x^3} & -\hat{x}_1 \frac{\partial V_3}{\partial x^2} & \hat{x}_2 \frac{\partial V_3}{\partial x^1} & -\hat{x}_2 \frac{\partial V_1}{\partial x^3} & \hat{x}_3 \frac{\partial V_1}{\partial x^2} & -\hat{x}_3 \frac{\partial V_2}{\partial x^1}\end{matrix}$$

El tensor antisimétrico $\epsilon$ es fácil de generalizar a dimensiones adicionales; acaba de agregar un índice adicional por cada dimensión, y mantener la misma regla para la asignación de los componentes en términos de combinaciones de índices. Sin embargo, las ecuaciones de Maxwell en realidad implican dos diferentes rizos, $\vec\nabla\times\vec{E}$$\vec\nabla\times\vec{B}$. Desde los campos eléctrico y magnético no generalizar a la de mayores dimensiones de los espacios de la misma manera, es lógico que sus rizos no puede.

Echemos un vistazo a la "magnético curl" primero. El campo magnético se generaliza a dimensiones superiores como una antisimétrica pieza de un tensor, por lo que debe escribir su curl como una operación en la que antisimétrica pieza de un tensor. Comience con el tensor de la notación de producto cruzado de la regla,

$$\bigl(\vec\nabla\times\vec{B}\bigr)^\alpha = \epsilon^{\alpha\beta\gamma}\frac{\partial B_\beta}{\partial x^\gamma}$$

y poner en la siguiente identidad que expresa los componentes de $\vec{B}$ en términos de componentes de $F$,

$$B_\beta = -\frac{1}{2}\epsilon_{\beta\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

(aquí los índices de rango sobre valores de 1 a 3), y después de algunas simplificaciones que usted consigue

$$\bigl(\vec\nabla\times\vec{B}\bigr)^\alpha = \frac{\partial F^{\alpha\mu}}{\partial x^\mu}$$

Así que el curl de algo que puede ser expresado de una antisimétrica pieza de un tensor no es realmente un rizo a todos!!!! Que hace que sea muy fácil generalizar: la ecuación

$$\frac{\partial F^{\alpha\beta}}{\partial x^{\beta}} = \mu J^{\alpha}$$

le da la ley de Ampère en cualquier número de dimensiones $N$, si usted acaba de dejar $\alpha$$\beta$$1$$N$. (Muy bien, si dejas $\alpha$ ser igual a cero, se obtiene de Gauss la ley).

Ahora, ¿qué acerca de la electricidad "curl"? Así, el campo eléctrico se generaliza a dimensiones superiores como un vector (siempre que ignorar Lorentz aumenta), así que no es realmente un tensor antisimétrico - al menos, de los componentes de la $\vec{E}$ no forman un bloque cuadrado de $F$ el camino de $\vec{B}$ lo hizo. Pero recuerde, tenemos que la ecuación que relacionados con la $B_\beta$$F^{\mu\nu}$. En realidad se puede voltear alrededor y lo utilizan para definir un tensor antisimétrico que contienen los componentes de $\vec{E}$. Llamamos a este nuevo tensor $G$, el doble tensor de a $F$.

$$G^{\mu\nu} = g_{\alpha\beta}\epsilon^{\beta\mu\nu}E^{\alpha}$$

Esta es la pieza que contiene $E$, de todos modos. (Podría ser por un factor numérico o una señal o algo, pero ese es el quid de la cuestión.) Si usted escribe los componentes de $G$ 3+1D espacio, se ve como el $F$, salvo que las posiciones de $E$ $B$ se apaga. El uso de esta nueva doble del tensor, usted puede hacer lo mismo que hicimos con $\vec{B}$$\vec{E}$, es decir, escribir su curl como

$$\bigl(\vec\nabla\times\vec{E}\bigr)^\alpha = \frac{\partial G^{\alpha\mu}}{\partial x^\mu}$$

y por lo tanto de Maxwell otras ecuaciones están dadas por

$$\frac{\partial G^{\alpha\beta}}{\partial x^\beta} = 0$$

Esto también se puede generalizar a dimensiones superiores, pero hay un truco a cómo se definen $G$. La cosa es que, ya que es un doble tensor, no siempre tiene 2 índices. Recuerde que cuando usted vaya a dimensiones superiores, usted tiene que poner extra índices en $\epsilon$, y para la definición de $G$ cambios. Por ejemplo, la definición anterior era para un 3D subconjunto de G. El real $G$ 3+1D es definida de la siguiente forma:

$$G^{\mu\nu} = \frac{1}{2}g_{\kappa\alpha}g_{\lambda\beta}\epsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}F^{\alpha\beta}$$

En 4+1D, es definido como este

$$G^{\mu\nu\rho} = \frac{1}{6}g_{\kappa\alpha}g_{\lambda\beta}\epsilon^{\kappa\lambda\mu\nu\rho}F^{\alpha\beta}$$

y así sucesivamente. Observe que $G$ siempre ha $N - 2$ índices, de forma que el número total de índices en $F$$G$$N$. Esta es una de las claves de la propiedad de la doble tensores: en una áspera sentido, la base es ortogonal a la base de la otra. Aquí es donde el cálculo exterior que Qmechanic mencionado entra en juego: se muestra una especie de equivalencia entre los tensores y sus duales, y tiene maneras de prolijamente lidiar con dos tensores que hacen posible la escritura de las ecuaciones de Maxwell muy compacta.

$$\begin{align}\mathbf{d}F &= 0 & \mathbf{d}G &= 0\end{align}$$

El exterior derivado $\mathbf{d}$ es una operación que se aplica a un campo tensorial y su doble en formas similares, de tal manera que en ambos casos se reproduce las ecuaciones de Maxwell.

Answer 2

El de mayores dimensiones de la versión de las ecuaciones de Maxwell que realmente está escrito explícitamente en el principio de la respuesta. Sin embargo, si sólo están familiarizados con la tradicional formulación de las ecuaciones de Maxwell, que se necesitan para el estudio de dos nuevos temas para apreciar esto.

I) la Especial formulación relativista. Incluso para el estándar $n=4$ dimensiones espacio-tiempo, existen dos equivalentes de las formulaciones de las ecuaciones de Maxwell, digamos para simplificar, en el vacío.

1. La tradicional formulación de las ecuaciones de Maxwell, que utiliza $\vec{E}$ $\vec{B}$ campos. (Esta formulación es, como la famosa frase de Einstein mostró, relativista covariante, pero el vector de notación algo oculta este hecho importante.)

2. La manifiestamente relativista formulación covariante, que utiliza el tensor de campo electromagnético $F_{\mu\nu}$.

II) cálculo Exterior. Como OP observa acertadamente, la cruz del producto y la curvatura se define únicamente por 3 direcciones espaciales. Generalizar arbitrarios del espacio-tiempo de la dimensión $n$, usamos la matemática de la maquinaria de exteriores de formas diferenciales, exterior cuña producto $\wedge$, y el exterior de Rham diferencial $d$.

En los enlaces de respuesta, también se menciona cómo muchos de campo eléctrico y magnético de los componentes, y cómo muchas de las ecuaciones de Maxwell, hay en varias dimensiones espacio-tiempo $n$. Aquí hay una tabla de pequeña dimensión espacio-tiempo $n$:

  # of spacetime dimensions n | 1 2 3 4  5  6  7
  ----------------------------------------------
  # of electric fields        | 0 1 2 3  4  5  6
  # of magnetic fields        | 0 0 1 3  6 10 15
  # of Maxwell's eqs.         | 1 2 4 8 15 26 42

Por ejemplo, en $n=0+1$ dimensión espacio-tiempo, no existen campos eléctricos y magnéticos, y sólo hay una única ecuación de Maxwell (ley de Gauss), que dice que $\rho=0$. No es una teoría muy interesante!

Answer 3

en n+1 dimensiones, E es un n-vector campo, y B un tensor antisimétrico de campo con n(n-1)/2 componentes. El producto cruzado $\nabla \times E$ se convierte en el tensor antisimétrico con componentes de $\nabla_j E_k - \nabla_k E_j$, y el producto cruzado $\nabla \times B$ se convierte en el vector con componentes de $\sum _j \nabla_j B_{jk}$. (o tal vez menos esta suma; podría averiguar el signo correcto de la Lagrangiana).