$f$ es continuidad uniforme

Question

Permita que$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sea una función continua limitada. Supongamos que para cualquier$y\in \mathbb{R}$,$f^{-1}(\{y\})$ es el conjunto vacío o un conjunto finito. Entonces$f$ es uniformemente continuo.

Mi idea: si$f$ no es uniformemente continuo, existe$a_n, b_n$ y$\epsilon $ st,$|a_n-b_n|\leq \frac{1}{n}$$|f(a_n)-f(b_n)|>\epsilon$. $f$ está limitado, por lo que puedo tomar la subsecuencia de convergencia. Pero no sé cómo usar la cardinalidad de$f^{-1}(\{y\})$

Answer 1

Tome $\epsilon>0$. Considerar la secuencia de $f(1),f(2),...$ que tiene un punto límite $C$ por Bolzano-Weierstrass. Desde $f^{-1}(C)$ es finito vacío/y $f$ es continua, se puede cruzar $C$ infinidad de veces, por lo que asumir WLOG que $f(x)<C$ para todos lo suficientemente grande $x$. Del mismo modo $f$ no puede cruzar $C-\epsilon$ infinidad de veces, así que para todos lo suficientemente grande como $x$ tenemos $f(x)\in (C-\epsilon,C)$ ($C$ es un punto límite, por lo que hay una infinidad de $f(x)$ en ese rango). Dicen que esto tiene para $x>B$, lo que significa que $|f(x)-f(y)|<\epsilon$$x,y\in (B,\infty)$.

Podemos hacer una cosa similar para encontrar $A$ tal que $|f(x)-f(y)|<\epsilon$$x,y\in (-\infty,A)$, y tenga en cuenta que $[A-1,B+1]$ es compacto, por lo $f$ es uniformemente continua en dicho intervalo, por lo que podemos encontrar $\delta<1$ tal que $|f(x)-f(y)|<\epsilon$$|x-y|<\delta$. Por lo tanto, $f$ es uniformemente continua en a $\mathbb R$.