Problemas concretos que pueden resolverse apelando a un espacio Moduli

Question

Siempre me ha gustado la idea de crear "espacios de parámetros" o "espacios de moduli," pero es sólo recientemente que he visto aplicaciones muy concretas de estudiar el espacio de moduli. Debido a la forma dominante de esta teoría es, tenía la esperanza de que

Notables ejemplos que me he encontrado:

1. la geometría enumerativa en el sentido de tratar de resolver un problema geométrico por su sustitución por las intersecciones de submanifolds (variedades) del espacio de moduli. Esto es bastante similar a la de una idea que yo tenía aquí, aunque no sé si este enfoque es fecundo.

2. La dinámica compleja. En particular, ¿cómo se puede averiguar algunas de las propiedades de un polinomio cuadrático mirando el conjunto de mandelbrot.

3. Vector de Paquetes de la Definición de la clase de Euler a través de la interpretación de $\mathbb RP^1$ como el espacio de moduli de rectas en el plano.

Hay otras aplicaciones de espacio de moduli que resolver un problema concreto? I (3), la mayoría de agotar mi conocimiento del tema, pero creo que como cuasi-hormigón en el sentido de que la comprensión de la topología del espacio de moduli puede ser utilizado en una manera seria para clasificar a la línea de paquetes.

Answer 1

Vamos a definir un K3 superficie de más de $\mathbb{C}$ a de ser de un mínimo de superficie algebraica $X$ de Kodaira dimensión$0$$H^0(X,K_X)=1$$H^1(X,\mathcal{O}_X)=0$. Una pregunta concreta para preguntar acerca de estas cosas es que si simplemente conectado. Esperamos que todo esto es posible porque uno puede calcular que los números de Betti $b_1=b_3=0$. Ahora sé cómo demostrar que una K3 superficie sé es simplemente conectado. Es decir, una cuártica hipersuperficie $S$$\mathbb{P}^3$. Basta con aplicar la Lefschetz hyperplane teorema. De hecho, esta muestra cualquier hipersuperficie en $\mathbb{P}^3$ es simplemente conectado. De todos modos, ahora sabemos que hay un $K3$ de la superficie que está simplemente conectado. También sabemos que hay un buen espacio de moduli de $K3$ superficies que está conectado. Ahora contamos con un teorema de Ehresmann para conseguir que todos los 3d superficies son diffeomorphic mirando las fibras de la familia universal sobre el espacio de moduli. Así, sabiendo que uno es simplemente conexa, sabemos que ellos simplemente están conectados.