Integrando ambos lados de una ecuación: ¿qué significa realmente?

Question

La operación de integrar alguna ecuación hasta algún tiempo $t$, por ejemplo, desde $0$ o en un intervalo pequeño, es muy común. Pero ¿qué significa realmente?

Agregar +2 a ambos lados de una ecuación es bastante sencillo, pero integrar algo no es tan claro.

Mi propia respuesta es que sumamos los valores de la ecuación en algún intervalo. Pero no veo cómo hay una correspondencia 1-1 al hacer esto. También debería depender de alguna constante. Por lo tanto, mi propia idea no es satisfactoria.

Answer 1

Supongamos que tienes $f(x)=g(x)$, lo que significa que $f(x)$ y $g(x)$ son la misma función.

(Para ser más precisos, debería ser $f(x) \equiv g(x)$ o $\forall x, f(x) = g(x).$)

$\int_0^t f(x) \, dx$ calcula el área bajo la curva de la función $f$.

También podemos hacer lo mismo con $g$, $\int_0^t g(x) \, dx$.

Dado que es la misma función, deberíamos esperar que el área bajo la gráfica sea la misma.

$$\int_0^t f(x) \, dx=\int_0^t g(x) \, dx$$

En general, si $A=B$ y $f$ es una función, deberíamos esperar que $f(A)=f(B)$.

Answer 2

Una posible respuesta tiene que ver con el concepto de una función y su definición en teoría de conjuntos. Estoy seguro de que estás familiarizado con las funciones, pero por completitud,

Definición. sean $A,B$ dos conjuntos, y $A \times B$ su producto cartesiano. Una función $f : A \rightarrow B$ es un subconjunto $Gr(f) \subseteq A \times B$ tal que para cada $x \in A$, existe un único elemento $f(x) \in B$ tal que $(x,f(x)) \in Gr(f).

Usualmente identificamos esto con la regla $x \mapsto f(x)$, particularmente cuando esta asignación está relacionada con una fórmula concreta.

A veces es útil, sin embargo, regresar al punto de vista teórico de conjuntos. En este caso, por ejemplo, la unicidad de $f(x)$ dado $x$ nos dice que si $x = y$, necesariamente $f(x) = f(y)$. Es decir, no hay ambigüedad al aplicar $f$: dado que $x$ e $y$ son el mismo elemento, hay un elemento único que le corresponderá.

En términos más concretos, la asignación $\Gamma_t(f) := \int_0^tf(x)dx$ para un $t$ fijo en los números reales es una función de las funciones integrables de valor real (con un dominio común que contiene a $[0,t]$) a los números reales. Por lo tanto, si dos funciones $f$ y $g$ son iguales, necesariamente debemos tener $\Gamma_t(f) = \Gamma_t(g).

Edición: nota que esto no significa que tengamos una correspondencia uno a uno. Por ejemplo, a partir de la igualdad de dos funciones diferenciables $F,G : [a,b] \to \mathbb{R}$ podemos deducir $F' = G'$, pero el recíproco no es cierto. Por ejemplo, si $F(x) = x$, entonces $(F+1)' = F'$ pero $F + 1 \not\equiv F. En particular, este ejemplo motiva por qué las primitivas difieren en una constante: si $F' = G'$, entonces $(F-G)' = 0$ y así $F-G = c$ para algún $c \in \mathbb{R$ (este último siendo una consecuencia del teorema del valor medio).

Answer 3

El truco consiste en recordar, o entender mejor, dos principios: uno, el principio fundamental de por qué hay que "hacer lo mismo a ambos lados" en álgebra, y otro, exactamente lo que tiene una ecuación de - que no está necesariamente claro: es decir, el información de tipo sobre qué tipo de cosas hay en cada lado. Además, tal vez, tenemos que entender mejor lo que una ecuación es . Una buena comprensión de los fundamentos básicos, creo, es realmente vital para entender las matemáticas -y eso significa al menos la lógica clásica simple- y, o no, verdadero/falso y la idea de un enunciado y un predicado. Hay mucha claridad conceptual que surge de analizar estas cosas y mucha confusión conceptual que resulta cuando no se tratan adecuadamente, y resolver eso es lo que voy a intentar a continuación. Lamentablemente, creo que el sistema de educación formal tiende a difuminar y embadurnar todo esto y da lugar a un sinfín de confusiones para muchos estudiantes y alumnos. Y es terrible.

Para entender esta respuesta, primero necesitarás un par de conceptos simples de la lógica. En lógica, se trata de declaraciones : cosas que puedes escribir y a las que se les puede asignar un valor de verdadero o falso. Por ejemplo, "La Luna está hecha de roca y metal". Este es un ejemplo de propuesta es una afirmación específica sobre una cosa en particular que es verdadera o no - en este caso, ésta es verdadera (en su mayor parte, pero nos estamos ciñendo a la lógica aristotélica simple y sin matices aquí, ya que esa es la base en la que trabajan las matemáticas, no la vida real).

El otro tipo de declaración es una predicado : como " $x$ está hecho de roca y metal", donde ahora $x$ es un marcador de posición que podemos sustituir por cualquier objeto que queramos, o al menos de algún conjunto del que tenga sentido hacerlo, al que llamamos variable . Un predicado también es verdadero o falso, pero su verdad o falsedad puede depender de lo que se ponga por $x$ . Si $x$ es "La Luna", es cierto, pero si $x$ es "el teclado de tu ordenador", probablemente no - al menos no he oído hablar de ningún teclado que incorpore roca en su construcción, pero podría estar equivocado. Todos tienen algo de metal, debido a los circuitos eléctricos, pero he dicho roca y metal. Se puede decir que una proposición es un predicado que no tiene variables en él, o un predicado "nulo" (donde el término "aridad", expresado como " $n$ -ary", significa "toma $n$ variables". El predicado que acabo de dar se llama unario predicado, lo que significa que toma una variable). Podríamos escribir tal predicado en una notación tipo función: $P(x) := \text{$ x $ is made of rock and metal}$ . El símbolo " $:=$ " significa aquí que estamos asignación de o definir el símbolo $P(x)$ para tener el significado de la derecha. Esto no se escribe típicamente, pero lo escribo en aras de maximizar la claridad conceptual a lo largo de esta respuesta y explicación detallada.

Un ecuación es un enunciado lógico que hace la afirmación de que dos cosas son iguales. $2 = 2$ es una ecuación que es una simple proposición, no un predicado. Es verdadera. $x = 2$ en el sentido del álgebra básica es una ecuación de predicado, que es el predicado $P(x) := (x = 2)$ . De hecho, no es descabellado decir que este $x = 2$ es una expresión de la misma manera que un

$$2 + 2$$

es una expresión, y preguntar por su evaluación. Es que la expresión anterior tiene una evaluación que es un número pero la expresión $2 = 2$ tiene un valor que es un valor lógico de "verdadero" o "falso".

Aquí está el truco. En las matemáticas, contrariamente a lo que te hayan dicho, sigue habiendo, por desgracia, cierto nivel de ambigüedad en lo que significan las cosas, y a menudo sólo se insinúa o se insinúa en el contexto, y para mí esto es un poco lamentable. Tal vez porque tengo mucha experiencia en programación de ordenadores, así como en matemáticas, y en eso, hay cero ambigüedad en lo que significa un programa: la ambigüedad es un error, y sé de uno que dijo que la programación trata de ser como las matemáticas y esa es la idea, pero en mi mente, las matemáticas también deberían tratar de ser un poco como la programación - el ideal será cuando las dos se encuentren en el medio.

Y eso es lo que pasa aquí. Cuando tienes una ecuación como

$$x = 2$$

en un contexto de álgebra simple es decir, el álgebra de la escuela primaria, está claro que lo que está a la izquierda es un número (no especificado), y lo que está a la derecha también es un número.

Pero cuando se llega a un cálculo ecuación como

$$y = x^2$$

donde estamos ahora a diferenciar cada lado, ahora aquí las cosas se ponen un poco ambiguas. De hecho, hay tres posibles interpretaciones conceptualmente distintas de lo que puede significar lo anterior:

1. Una de ellas es que es la ecuación entre el número desconocido $y$ y el número desconocido $x$ en cuyo caso se trata de una ecuación algebraica de dos variables, o en nuestra pequeña lógica un predicado binario $P(x, y) := (y = x^2)$ a las que podemos preguntar por sus soluciones: una de ellas puede ser $(0, 0)$ , otra puede ser $(1, 1)$ , otro $(2, 4)$ etc. (el primer valor es $x$ el segundo es $y$ como lo hemos escrito en el predicado y como en el orden con el que estarías familiarizado desde el sistema de coordenadas cartesianas viendo esto en términos de su gráfico o gráfico del conjunto de la solución sobre un plano).

2. La segunda interpretación es que $=$ se está utilizando de forma descuidada para $:=$ y lo que queremos decir es definir que $y$ debe tener el valor $x^2$ es decir $$y := x^2$$ . La distinción entre definición o asignación y afirmación de igualdad - es decir, la formación de un predicado frente a una acción que debe realizarse, es otra distinción conceptualmente importante que puede pasar desapercibida por la ambigüedad.

3. La tercera interpretación -y la que tiene que ver con la situación del cálculo- es que el lado izquierdo $y$ es un función Aquí, por lo menos, el función unaria de una variable $x$ y el lado derecho es también otra función - aquí el función anónima que toma la variable numérica $x$ en $3x$ que podemos escribir como $x \mapsto 3x$ (por "función anónima" me refiero a una función que se especifica sin definir un símbolo o nombre específico (la palabra anónima significa sin nombre, igual que cuando se usa en un contexto de la vida cotidiana), como $f(x)$ para especificarlo, es decir, que no aparezca en un $f(x) := ...$ construcción. La notación $x \mapsto 3x$ en lugar de $f(x) := 3x$ es análogamente a las funciones lo que yo escribo $3$ en lugar de $a := 3$ es a los números). Si estuviéramos cuerdos y quisiéramos dejar los conceptos bien claros, escribiríamos esto como

$$y = (x \mapsto 3x)$$

(Nótese, por supuesto, si se trata de una ecuación predicativa o declarativa, es decir $=$ contra. $:=$ efectivamente también divide conceptualmente este último punto en dos).

Así que ahora puedes preguntar sobre la diferenciación o la integración en cada lado. Para entender eso, ahora tenemos que entender por qué necesitamos "hacer cosas en ambos lados" de una ecuación y es esto: Primero, cualquier cosa que "hagas" a "ambos lados" de una ecuación es y debe ser una función . Cuando "sumas 2 a ambos lados" lo que estás es realmente es aplicar la función $x \mapsto x + 2$ a ambos lados. El propiedad definitoria de una función $f$ es que si $a = b$ entonces $f(a) = f(b)$ . Esto es lo que se entiende por el lenguaje un tanto circunscrito "una función asigna sólo uno de salida a cada entrada". Si una función tuviera que asignar dos valores, digamos $2$ y $3$ a alguna salida, entonces no podemos saber que $f(a) = f(b)$ - ¿qué pasa si la primera $f(a)$ asignado $2$ pero el segundo asignado $3$ ? Eso sería coherente con lo que está escrito, y haría que la ecuación fuera falsa, y por tanto nos equivocaríamos al deducir (y eso es todavía otro conceptual: que eres deduciendo cuando se pasa de una ecuación a otra) de $a = b$ que $f(a) = f(b)$ : "aplicando $f$ a ambos lados" no sería un movimiento válido para hacer en el juego .

Avec todo todo esto, ahora estamos finalmente en condiciones de preguntar qué significa integrar ambos lados de una ecuación.

La primera parte es conseguir el que significa del derecho de integración. Lo que la "integración" es un operador es una función que se come otras funciones y escupe funciones . En particular, el operador de integración

$$I_x[f] := \int_{0}^{x} f(\xi)\ d\xi$$

se come una función $f$ y devuelve una función que es su integral con límite inferior $0$ . A saber, ser de nuevo muy cuidadoso y preciso con la notación, $I_x[x \mapsto x] = \left(x \mapsto \frac{1}{2}x^2\right)$ (la función $x \mapsto x$ se llama técnicamente función de identidad y se denota $\mathrm{id}$ por cierto), $I_x[\sin] = \left(x \mapsto \cos(x) - 1\right)$ etc. (nótese que no escribí $\sin(x)$ - que sería el valor de $\sin$ en $x$ , no el función sí mismo)

Cuando se tiene la ecuación

$y = 3x$

y vas a integrar ambas partes Los dos lados son NO números, sino más bien funciones - como se ha escrito antes,

$$y = (x \mapsto 3x)$$

y cuando se aplica el operador de integración lo hará se come la función del lado al que la aplicaste y bombea otra función y como cualquier función satisface $a = b$ implica $f(a) = f(b)$ - incluso si $a$ y $b$ son a su vez funciones como en este caso - entonces tienes que aplicarlo también a ambos lados como cualquier otra cosa que harías en álgebra igual.

Lo que incluso nos permite decir que uno de los verdaderos saltos conceptuales del cálculo no es sólo el límite y la introducción del continuo propiamente dicho, sino también el salto de pensar en funciones de los números a la llamada funciones de orden superior o operadores que son funciones de otras funciones .

Answer 4

Permita que $a, b \in \mathbb{R}$, supongamos que tenemos :

$$\forall x \in [a,b], f(x)=g(x)$$

Supongamos $a_i=a+\frac {i(b-a)} m$.

Entonces tenemos :

$$\sum_{i=0}^m f(a_i)=\sum_{i=0}^m g(a_i).$$

Luego, tenemos, para todo $m$ :

$$\frac{b-a} {m+1}\sum_{i=0}^m f(a_i)=\frac{b-a} {m+1}\sum_{i=0}^m g(a_i).$$

Pero, por sumas de Riemann, si $f$ es Riemann integrable :

$$\frac{b-a} {m+1}\sum_{i=0}^m f(a_i) \underset{m \to \infty} \to \int_a^b f(x) dx$$

Y lo mismo se aplica para $g$.

Entonces :

$$\int_a^b f(x) dx=\int_a^b g(x) dx.$$

Answer 5

El signo igual afirma que las dos expresiones se refieren, o se evalúan, al mismo objeto matemático. Por lo tanto, si se realiza el mismo procedimiento dos veces en el mismo objeto, el mismo resultado debería obtenerse cada vez. Si realmente quieres, puedes pasar por cualquier definición de "integral" con la que estés trabajando. Por ejemplo, si estás utilizando la definición de Riemann, entonces es fácil ver que para cualquier malla, la suma de Riemann para ambas funciones será la misma.