¿Qué problemas han sido verificados con frecuencia computacionalmente para valores grandes?

Question

Aunque cualquier teorema (verdadero o conjetura) puede ser computacionalmente comprobado, muchos abierta desde hace mucho tiempo los problemas se han computacional verificado para valores muy grandes. Por ejemplo, la Conjetura de Collatz y el Último Teorema de Fermat (antes fue comprobado) fueron computacionalmente verificado por la gran escala de cálculo de los programas. No sólo tienen estos cálculos se han llevado a cabo, pero hay una larga historia en la mejora de la envolvente para que estos cálculos se han llevado a cabo hasta el momento.

¿Qué otros problemas (no necesariamente de la teoría de los números) se han verificado de manera similar para los valores a algunos de los grandes obligado, y a qué altura se han comprobado? Específicamente estoy interesado en los casos donde es una historia establecida de cómputo de verificar el problema hasta el más grande y más grande de los límites.

Estoy interesado tanto en el actual filo y de la historia de la computación.

Answer 1

La inexistencia de los números primos de Fermat más allá de $65537$ ha sido verificada, por lo que yo sé, a $2^{2^{32}}+1$. Por lo tanto, hemos identificado los últimos edificable regular primer lados del polígono hasta un punto mucho más allá de donde cualquier construcción que podrían llevarse a cabo. (Basado en las actuales teorías de la gravedad cuántica, un polígono regular de tener la mayor brevedad posible laterales de longitud y "sólo" $2^{2^8}+1$ lados no caben en el Universo conocido.)

Era, por supuesto, Euler el primero que mató a Fermat conjetura de que $2^{2^n}+1$ es primordial para todos los números naturales $n$, por refutar por $n=5$. Ahora, lo contrario conjetura está en boga, y se ha comprobado hasta el $n=32$. La prueba de Fermat números de primalidad se puede lograr por Pepin de la Prueba, de una forma más fuerte de Fermat Poco Teorema según el cual un número de Fermat $M\ge 5$ es el primer fib $3^{(M-1)/2}\equiv -1 \bmod M$. Porque Pepin de la prueba no directamente a identificar los factores cuando el número es compuesto, $2^{2^n}+1$ no tiene factores de que tengan conocimiento, a pesar de ser certificada compuesto, para$n=20$$n=24$.

Ver aquí para una discusión más detallada de los números de Fermat.

Answer 2

Si no existen números perfectos impares es un problema abierto. Han revisado los números hasta $10^{1500}$ (como de $2012$) sin éxito.

Answer 3

La Conjetura de Goldbach se ha verificado bien $4\times 10^{18}$ por Oliveira e Silva (2012). La historia de estos cálculos (13 los registros anteriores) se puede encontrar en Mathworld.

La Hipótesis de Riemann ha sido verificada a través de $10^{13}$ X Gourdon (2004). La historia de estos cálculos se pueden encontrar en la Wikipedia.

La Unión-Conjunto cerrado Conjetura ha sido verificada hasta conjuntos de tamaño $46$ así como para otros casos especiales. La específica límite inferior de tamaño $46$ fue encontrado por Roberts y Simpson en 2010. Los registros anteriores fueron 18 (Sarvate y Renaud 1990) y 40 (Roberts 1992). Mathworld varias listas de otros resultados que no logran vencer Roberts 1992.

Answer 4

La conjetura de Collatz, también llamada secuencia de piedra de granizo o $3x+1$ conjetura ha sido verificada hasta $87\times 2^{60}$ a partir del $2017$. Puede encontrar más información en Wikipedia.

Answer 5

Conjetura de Firoozbakht dice que, si es de $p_n$ $n$^th primer números, entonces la secuencia $\left(\sqrt[n]{pn}\right){n\in\mathbb N}$ estrictamente está disminuyendo. Nunca se ha demostrado, pero ya ha sido comprobado por los números primos por debajo de $10^{19}$.