Tengo un problema concreto, dicen, hay $n$ diferentes bolas ($n$ diferentes colores para distinguirlos), cada pelota será seleccionado de manera uniforme al azar. La manera en que yo elija una pelota es que yo al azar con un balón y anota su color．Luego me puso la pelota a la colección y elegir una pelota de nuevo. No pararemos hasta que yo llegue a $m$ registrado colores. Supongamos $m \geq n$. De cuántas maneras existen de que todos los $n$ colores fueron seleccionados? Y ¿cuál es la probabilidad de que todos los $n$ colores diferentes se registran en el consecutivo $m$ selecciones? Mis entrañas me dicen que hay $n^m$ combinaciones en total, pero a mi rusty matemáticas me detiene allí. Gracias de antemano.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Oli
Puntos
89
Hay $n^m$ color posibles cadenas, todos igualmente probables. Ahora contamos con el favourables. El favourables son las funciones de un conjunto de $m$ elementos de un conjunto de $n$ elementos que están en.
El número de tales funciones se da por $n!$ multiplicado por el Número de Stirling del Segundo Tipo a menudo denotado por $S(m,n)$. No se conoce la forma cerrada para $S(m,n)$, pero no son útiles las recurrencias.
Así que nuestra probabilidad es $\frac{n!S(m,n)}{n^m}$.
Nota: Otra manera de contar la favourables es el uso de Inclusión/Exclusión. Hay $n^m$ funciones. Hay se $(n-1)^m$ funciones que la "señorita" un número en particular, para estimar el número de favourables es $n^m-\binom{n}{1}(n-1)^m$. Pero esta doble resta de las funciones que pierda dos elementos, por lo que una mejora de la estimación del número de favourables es $n^m-\binom{n}{1}(n-1)^m+\binom{n}{2}(n-2)^m$. De continuar.
