Límite cuando la circunferencia se reduce

Question

Que $C_1$ ser una circunferencia fija con ecuación $(x-1)^2 + y^2 = 1$ y $C_2$ a la circunferencia que shrinked, con centro en $(0, 0)$% y radio $r$.

Que $P$ ser el % de punto $(0, r)$, $Q$ la intersección superior entre $C_1$y $C_2$ y $R$ la intersección entre la línea de $PQ$ con el eje de $x$.

¿Qué sucede con el $R$ cuando $C_2$ se contrae (es decir, $r \rightarrow 0^+$)?

Answer 1

Ya no puedo pensar en algo inteligente, voy a calcular. La respuesta resulta ser diferente de lo que la intuición geométrica podría sugerir.

El punto de $P=P(r)$ tiene coordenadas $(0,r)$. Nos encontramos con las coordenadas de $Q$. Así que estamos resolviendo el sistema $$(x-1)^2+y^2=1,\qquad x^2+y^2=r^2.$$ Restar. Llegamos $2x=r^2$, lo $x=r^2/2$. El $y$coordenadas del punto superior de la intersección es, por tanto,$\sqrt{r^2-r^4/4}$. Ahora podemos encontrar la ecuación de la línea de $PQ$. En la manera usual de obtener la ecuación $$\frac{y-r}{x}=\frac{\sqrt{r^2-r^4/4} -r}{r^2/2}.$$ El $x$-intersección se obtiene por poner $y=0$. Tenemos $$x=\frac{-r^3/2}{\sqrt{r^2-r^4/4}-r}.$$ Ahora es el momento de tomar el límite. Podemos simplificar nuestra expresión ligeramente a $$x= \frac{r^2/2}{1-\sqrt{1-r^2/4}}.$$ Al tomar el límite es de rutina. Podemos, por ejemplo, multiplique la parte superior e inferior por $1+\sqrt{1-r^2/4}$. O recordar de manera más informal que si $\epsilon$ es pequeña, $\sqrt{1-\epsilon}\approx 1-\epsilon/2$. De cualquier manera, el límite resulta ser $4$. Sorpresa!

Answer 2

Es el punto de intersección superior del $T=(a,b)$ $C_1$ y $C_2$ y tiene positivo $y$-componente. Por lo tanto

$$\begin{cases}a^2+b^2=r^2 \ (a-1)^2+b^2=1. \end{cases}$$

Restando el primero del segundo, obtenemos $1-2a=1-r^2$ y así $a=r^2/2$. Entonces podemos resolver $b$ $b=\sqrt{r^2-(r^2/2)^2}=r\sqrt{1-(r/2)^2}$. Por lo tanto $T=\left(r^2/2,r\sqrt{1-(r/2)^2}\right)$. La línea entre $T$y $(0,r)$ está dada por

$$\frac{y-r}{x-0}=\frac{b-r}{a-0}=\frac{r\sqrt{1-(r/2)^2}-r}{r^2/2-0}.$$

La $x$-intercepción ocurre cuando $y=0$; resolución de $x$ nos da

$$x=\frac{-r(r^2/2)}{r\sqrt{1-(r/2)^2}-r} \cdot \frac{1+\sqrt{1-(r/2)^2}}{1+\sqrt{1-(r/2)^2}}=2\left(1+\sqrt{1-(r/2)^2}\right).$$

Claramente como $r\to0$, $x\to 4$.