$\sum\limits_{n=1}^\infty \log(1+a_n)$ converge absolutamente $\iff\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ converge absolutamente.

Question

<blockquote> <p>$$ \sum\limits_{n=1}^\infty \log(1+a_n) \text {converge absolutamente} \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n \text {converge absolutamente}. $$</p> </blockquote> <p>Cómo probar esto,</p> <p>¿Supongamos que $$\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ converges absolutely}.$$ Let $ u_{n}=a_{n}$ and $v_{n}=\log(1+a_n) $, then $% $ $\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n}}{v_{n}}=1>0 \implies\sum_{n=1}^\infty \log(1+ a_n) \text{ converges absolutely}.$cómo probar lo contrario?</p>

Answer 1

Sugerencia: De la definición de $\ln'(1),$ tenemos

$$\lim_{u\to 0}\frac{\ln (1+u)}{u} = 1.$$

Así hay $a>0$ tal que

$$\frac{1}{2}\le |\frac{\ln (1+u)}{u}| \le \frac{3}{2}$$

$u\in (-a,a),u\ne0.$

Answer 2

La prueba de comparación de límite dice que si tienes dos secuencias ${an}{n=1}^\infty$ y ${bn}{n=1}^\infty$ tal que $\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=c$ $0<c a_n="" bn="" entonces="" s="" si="" y="">Así que tenemos que demostrar que $\lim{n\to \infty}\frac{\vert ln(1+x_n)\vert}{\vert x_n\vert}=c$ $0<c absolutamente="" casos="" como="" converge="" cualquiera="" de="" dos="" el="" ello="" en="" entonces="" l="" la="" ln="" los="" o="" observamos="" para="" por="" que="" regla="" tendremos="" x="" x_n=""></c>

</c>

Answer 3

La serie $$\sum_{n=1}^\infty \log(1+an)$$ and $% $ $ \sum{n=1}^\infty an $sentido previamente sólo si $$\lim{n\to\infty } \log(1+an) =0 \Longleftrightarrow \lim{n\to\infty }a_n = 0 $ $

Ya que si $$\lim_{n\to\infty } \log(1+an) \not=0 \Longleftrightarrow\lim{n\to\infty }a_n \not = 0$ $ entonces ambas series divergen.

Por lo tanto, suponiendo que $an \to 0$, tenemos $$\lim{n\to\infty }\frac{|\log(1+a_n)|}{|an|} =\left|\lim{h\to 0}\frac{\log(1+h)}{h}\right| = 1$ $

$\varepsilon = 1/2$ Existen $n_0$ tal que $n>n_0$

$$\left|\frac{|\log(1+a_n)|}{|a_n|} -1\right|

es $$\frac12 |a_n|n_0$ $

es $$ \frac12 \sum_{n>n_0}|a_n|n_0}|\log(1+a_n)|n_0}|a_n|$ $

Answer 4

Mi manera: $$\sum_{n=1}^\infty \log(an+1) = \log\prod{n=1}^\infty (a_n+1)$ $ ya que la serie converge absolutamente también lo hace el producto. Por lo tanto, $a_n +1 \rightarrow 1$% y tan $a_n \rightarrow 0$. Ahora el paso no trivial: $a_n \rightarrow 0$, y en la proximidad de $0$ $\log(1+x) = x + o(x^2)$ tiene dividiendo así $x$ para cualquier $\epsilon > 0$ $n$ $$\frac{|\log(a_n+1)|}{|a_n|} \leq 1+ \epsilon$ $ o, en otras palabras, $$(1-\epsilon)|a_n| \leq |\log(a_n+1)| \leq (1+\epsilon)|a_n|$ $ se aplican la suma a la última desigualdad y a probar la propuesta de ambas maneras.