Topología del espacio de funciones continuas

Question

Dejemos que $X,Y$ sean espacios topológicos y que $C^0(X,Y)$ sea el conjunto de funciones continuas entre ellas, dotadas de la topología compacta-abierta . Estoy interesado en el siguiente tipo de preguntas:

1. Lo que se sabe en general sobre la topología de $C^0(X,Y)$ aquí estoy especialmente interesado en la conexión de caminos, la compacidad y la conexión simple.
2. ¿En qué medida la topología de $C^0(X,Y)$ dependen de la de $X$ y/o $Y$ ? Quiero decir: ¿debo esperar $C^0(X,Y)$ para ser más agradable para una buena elección de $X$ y $Y$ ? o hay alguna obstrucción/propiedad uniforme?

Por supuesto, me doy cuenta de que el escenario puede ser demasiado vago, así que debo decir que me interesa sobre todo el caso de $X$ y $Y$ colectores (tal vez compactos) y en el caso $Y=\mathbb{R}$ para un genérico $X$ . En ambos casos la topología compacta-abierta coincide con la topología de convergencia compacta ya que la topología en $Y$ es metrizable.

Answer 1

La pregunta que hago aquí incluye algunas referencias que pueden resultar interesantes (también se agradecería cualquier aportación sobre el problema).

Básicamente, cuando $X$ es núcleo-compacto hay una topología que se puede poner en $C^{0}(X,Y)$ para cualquier $Y$ (llamada topología de Isbell) tal que satisface muchas propiedades agradables:

• Hace que el mapa de evaluación sea continuo.
• $C^{0}(X,Y)$ es un objeto exponencial para $X$ y $Y$ .

Cuando $Y$ es también núcleo-compacto, también se obtiene que el mapa de composición es continuo donde $C^{0}(Y,Z)$ se le da también la topología de Isbell (y $Z$ es cualquier espacio topológico).

Para los espacios $X$ que son localmente compactas Hausdorff la topología compacta-abierta en $C^{0}(X,Y)$ es la misma que la topología de Isbell.

Hasta ahora el debate sólo ha dependido de $X$ . Pero $Y$ también influye en la topología. Cuando $Y$ es $T_0$ , $T_1$ , Hausdorff, o regular, entonces también lo es la topología compacta-abierta. (Me falta una referencia para decir si esto es cierto para la topología de Isbell).