¿Que es más grande, $ \log_{1000} 1001$ o $\log_{999} 1000 $?

Question

<blockquote> <p>¿Que es más grande, $ \log_{1000} 1001$ o $\log_{999} 1000 $?</p> </blockquote> <p>Lo he intentado usando la identidad de $\log_n x = \dfrac 1 {\log_x n} $, pero no encontrar una solución sin embargo. ¿Alguna sugerencia? ¿o pistas puedo utilizar?</p>

Answer 1

Usar el hecho de que $\log_nx=\frac{\log x}{\log n}$ y luego escoger su camino preferido para mostrar que $$\log(999)\log(1001)

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\frac{d}{dx} \frac{\log(x+1)}{\log x} = \frac{\frac{\log x}{x+1} - \frac{\log (x+1)}{x}}{\log^2 x}

Answer 3

¿La pregunta es: $n=1000$, que es más grande $$\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\qquad\text{or}\qquad\frac{\ln(n)}{\ln(n-1)}?$ $ o equivalente, %#% $ #% positivo o negativo?

Que $$\ln\ln(n+1)-2\ln\ln n+\ln\ln(n-1)$. Entonces $f(x)=\ln\ln x$ $ esto es disminución de $$f'(x)=\frac{1}{x\ln x}.$ y $x>1$ es cóncava. Entonces $f$ y así $f(n+1)-2f(n)+f(n-1)

Answer 4

Que $$ f(x)= \log _{x}(x+1) = \frac {\ln (x+1)}{\ln (x)} \text { for } x>1$ $ sobre la diferenciación que

$$ f'(x) = \frac {x\ln x -(x+1) \ln (x+1) }{x(x+1) (\ln x)^2}

Por lo tanto f (x) es decreciente.

Como un resultado $$ log{1000}1001<log></log_>

Answer 5

Por AM-GM $$\log{999}1000-\log{1000}{1001}=\frac{\ln1000}{\ln999}-\frac{\ln1001}{\ln1000}=\frac{\ln^21000-\ln1001\ln999}{\ln999\ln1000}\geq$ $ $$\geq\frac{\ln^21000-\left(\frac{\ln1001+\ln999}{2}\right)^2}{\ln999\ln1000}=\frac{\ln^21000-\ln^2\sqrt{1001\cdot999}}{\ln999\ln1000}=$ $ $$=\frac{\ln^21000-\ln^2\sqrt{1000^2-1}}{\ln999\ln1000}>\frac{\ln^21000-\ln^2\sqrt{1000^2}}{\ln999\ln1000}=0.$ $