¿Por qué el dominio de una función racional es necesariamente no vacío?

Question

Deje $V$ ser una irreductible variedad afín. Racional mapa de $f : V \to \mathbb A^n$ $n$- tupla de mapas de $(f_1, \ldots , f_n)$ donde $f_i$ son funciones racionales es decir, están en $k(V)$. Th mapa se llama regular en el punto de $P$ si todas las $f_i$ son regulares en el punto de $P$. Por lo tanto $\mathrm{dom}(f) = \bigcap_{i=1}^n \mathrm{dom}(f_i)$.

Mi libro dice que $\mathrm{dom}(f)$ por lo tanto es un abierto no vacío es subconjunto de a $V$. Puedo ver por qué es abierto, pero no veo por qué tiene que ser no vacío. Puedo ver que cada una de las $\mathrm{dom}(f_i)$ son no vacías, y que es cierto en el caso de que $V$ incrusta en $\mathbb A^1$ y los polinomios en una variable.

Así que, ¿por qué es $\mathrm{dom}(f)$ necesariamente vacío?

Gracias

Answer 1

Usted ha señalado que el $\operatorname{dom}(f_i)$ son no vacía de subconjuntos abiertos de $V$. No hemos utilizado irreductibilidad sin embargo, y en el hecho de que el adjetivo parece ser crucial para el trabajo con funciones racionales y función de los campos debido a las siguientes.

Lema. Si $X$ es un irreductible espacio topológico y $U_1, U_2$ son no vacía de subconjuntos abiertos de $X$,$U_1 \cap U_2 \neq \varnothing$.

Es probable que su definición de la irreductibilidad involucra a conjuntos cerrados. Para obtener el lema, acaba de tomar complementos.