¿Cuál es el derivado de : $ \displaystyle \sqrt{x+\sqrt{{x}+\sqrt{x+\cdots}}}$ ?

Question

dejar $ y=\displaystyle \sqrt{x+\sqrt{{x}+\sqrt{x+\cdots}}}$ Estoy muy interesado en saber cómo puedo encontrar:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ?.

Nota: He utilizado la definición de la derivada de la función raíz cuadrada pero no tengo éxito.

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Voy a suponer que el problema dado ha terminado $\mathbb{R}^+$ de lo contrario, la definición de $f$ no tiene sentido. En $\mathbb{R}^+$ la función dada es diferenciable por la concavidad de $g(x)=\sqrt{x}$ .

Dicha función cumple $f(x)^2 = x+f(x)$ Por lo tanto, mediante la diferenciación por términos $$ 2\,f'(x)\,f(x) = 1 + f'(x) $$ y: $$ \frac{d}{dx}\,f(x) = \frac{1}{2\,f(x)-1}.$$

Answer 2

$ y = \sqrt{x+\left(\sqrt{{x}+\sqrt{x+\cdots}}\right)}$

$y = \sqrt{x + y}$

Entonces $y^2 = x + y$

Ahora encuentra la derivada.

$2y\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$

$2y\frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1$

$(2y - 1)\frac{dy}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1}$

Answer 3

Dejemos que $$y = \displaystyle \sqrt{x+\sqrt{{x}+\sqrt{x+\cdots}}}$$ Es una serie infinita por lo que añadir un término más no afectará a su valor

$$y = \displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{{x}+\sqrt{x+\cdots}}}}$$

A partir de las ecuaciones anteriores $$y = \sqrt{x+y}$$ $$y^2 = x+y$$ Diferenciación con respecto a la $x$ obtenemos $$2y\frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$$ $$(2y-1)\frac{dy}{dx} = 1$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y-1}$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y-1}$$

donde $y = \displaystyle \sqrt{x+\sqrt{{x}+\sqrt{x+\cdots}}}$