Normas no equivalentes

Question

Estoy haciendo algunos problemas de análisis lineal y me encuentro con la siguiente pregunta

Concluir que si dos normas $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|_2$ sobre un espacio vectorial (complejo) V no son equivalentes, existe un funcional lineal $f : V \mathbb{C}$ que es continua con respecto a una de las dos normas y discontinua con respecto a la otra.

Mi idea era utilizar el contrapositivo; suponemos que hay $a,b>0$ tal que para todo $f$ lineal funcional $V\to \mathbb{C}$ $$|f(x)|<a\|x\|_1$$ $$|f(x)|<a\|x\|_2$$ A continuación, nos fijamos en los funcionales de apoyo $f_x^{(i)}$ con respecto al $\|\cdot\|_i$ norma y conectarlos para obtener $$\|x\|_2<a\|x\|_1$$ $$\|x\|_1<b\|x\|_2$$ de lo que se deduce el resultado. Pero mi problema es que aquí no estoy acostumbrado a construir el funcional de soporte así, es decir, obteniendo dos funcionales de soporte diferentes sobre el mismo espacio, pero con respecto a normas diferentes. ¿Es un método válido? Si no es así, ¿cuál es la mejor manera de abordar este problema.

Answer 1

WLOG asume que $\not\exists M > 0$ tal que $\|\cdot\|_2 \le M\|\cdot\|_1$ . Supongamos que para cualquier funcional lineal $f : V \to \mathbb{C}$ tiene $$f \text{ continuous w.r.t. } \|\cdot\|_2 \implies f \text{ continuous w.r.t. } \|\cdot\|_1$$

Obsérvese que si una secuencia $(x_n)_n$ en $V$ converge débilmente respecto a $\|\cdot\|_1$ entonces también converge débilmente respecto a $\|\cdot\|_2$ :

$$\begin{align} x_n \xrightarrow{w_1} x &\implies f(x_n) \xrightarrow{n\to\infty} f(x), \forall f \text{ linear functional continuous w.r.t. } \|\cdot\|_1 \\ &\implies f(x_n) \xrightarrow{n\to\infty} f(x), \forall f \text{ linear functional continuous w.r.t. } \|\cdot\|_2 \\ &\implies x_n \xrightarrow{w_2} x \end{align}$$

Tenemos $\|\cdot\|_2 \not\le n^2\|\cdot\|_1, \forall n \in \mathbb{N}$ por lo que existe una secuencia $(x_n)_n$ en $V$ tal que $\|x_n\|_1 = 1$ y $\|x_n\|_2 \ge n^2$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .

Tenemos

$$\left\|\frac1n x_n\right\|_1 = \frac1n \xrightarrow{n\to\infty} 0$$

así que $$\frac1n x_n \xrightarrow{\|\cdot\|_1} 0 \implies \frac1n x_n \xrightarrow{w_1} 0 \implies \frac1n x_n \xrightarrow{w_2} 0$$

La subsecuencia débilmente convergente en un espacio normado también está acotada, por lo que concluimos que $\left( \frac1n x_n\right)_n$ está limitada respecto a $\|\cdot\|_2$ .

Sin embargo

$$\left\|\frac1n x_n\right\|_2 \ge \frac1n \cdot n^2 = n$$

lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, existe una función lineal $f$ que es continua respecto a $\|\cdot\|_2$ pero no en relación con $\|\cdot\|_1$ .