¿Límite de $f(z)=\frac 1z$ $z$ enfoques $0$?

Question

¿Sé que la respuesta es infinito, pero no contradice esto el teorema diciendo que $\displaystyle\lim{z\to0} \Im(f(z)) = \Im(\displaystyle\lim{z\to0} f(z))$? Es decir, el lado izquierdo no existe porque acerca a $\Im(f(z))$ $-\infty$ y $\infty$ $z$ enfoques $0$ en el eje imaginario de las direcciones positivas y negativa respectivamente. Sé estoy mal entendido algo fundamental, pero ¿qué es?

Answer 1

La clave es recordar que $\infty$ no es un número complejo! En realidad, en el análisis complejo, cuando decimos que $$\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty,$$ lo que significa realmente es $$\lim_{z \to z_0} |f(z)| = \infty.$$ Así que nos traerá de nuevo a los números reales. Y, por supuesto, esta afirmación no es exactamente sentido, ya que de $\infty$ no es un número real cualquiera. Lo que realmente queremos decir es que para todos (grandes) $M>0$, podemos encontrar una (pequeña) $\delta > 0$ tal que para todos los $z$ donde$|z - z_0| < \delta$,$|f(z)| > M$. Y esto es definitivamente cierto para $1/z$$z \to 0$.

Ahora, en el análisis real, a menudo podemos hablar de $-\infty$$\infty$, mientras que en el análisis complejo, quizá podamos imaginar $\infty e^{i \theta}$$\theta \in [0, 2\pi)$. Pero, resulta que una de las mejores maneras de pensar de los grandes números complejos es que en realidad son un poco cerca el uno del otro; si tenemos los números complejos $z$ que sabemos que son grandes, decir $|z|>M$, entonces podemos ver el $1/z$ y tenga en cuenta que $\left| \frac{1}{z} \right| < 1/M$. Por lo tanto, sabemos que (como hemos definido un límite de números complejos ir a $\infty$) $$\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty$$ si y sólo si $$\lim_{z \to z_0} \frac{1}{f(z)} = 0.$$

Esta idea se formaliza con la esfera de Riemann. La esfera de Riemann nos permite pensar de meromorphic funciones como funciones donde se pueden "rellenar" los polacos por su asignación a $\infty$, y a pensar de funciones racionales como las asignaciones de la esfera de Riemann a sí mismo. Pero tenga en cuenta que incluso en la esfera de Riemann no es "suficiente" para manejar esencial singularidades.

Answer 2

$\lim{z\to 0}f(z)=\frac 1z$ no existe en los números verdaderos, ni en los números complejos. No hay infinito en cualquiera de los dos. Si utilizas los reales extendidos: el Riemann o $\mathbb R \cup \infty$ $\mathbb C \cup \infty$ usted puede ciertamente decir (y probar) $\lim{z\to 0}f(z)=\frac 1z = \infty$ la parte imaginaria de $\infty$, como la parte imaginaria de $0$ está definida en la esfera de Riemann de la esfera.

Answer 3

Thomas comentario explica por qué este teorema no tiene mucho sentido si la función toma el valor infinito. Voy a tratar de dar más sentido a esto. Usted puede definir la esfera de Riemann, $\hat{\Bbb C}$ como el punto de compactification de $\Bbb C$. Como un conjunto, podemos pensar en esto como $\hat{\Bbb C}= \Bbb C \cup \{\infty\}$, donde si $\infty \not\in U$ $U \subset \hat{\Bbb C}$ es abierto si $U$ es abierto en la topología estándar en $\Bbb C$. Si $\infty \in U$, $U$ es abierto si $U \cap \Bbb C=K^{c}$ donde $K \subset \Bbb C$ es compacto. En resumen, el abierto de conjuntos de $\hat{\Bbb C}$ son el estándar abierto de conjuntos de $\Bbb C$, y abrir los conjuntos que contengan $\infty$ son los complementos de conjuntos compactos en $\mathbb C$.

Así que, vamos a pensar de $f$ como un mapa de $\Bbb C$$\hat{\Bbb C}$, y permite definir $f(0)=\infty$. Yo reclamo que $f$ es continua. Nos muestran esta demostrando que para $U \subset \hat{\Bbb C}$ abierto, $f^{-1}(U)$ está abierto en $\Bbb C$. Claramente nos basta considerar el caso en que $\infty \in U$, porque el resto de casos, seguir fácilmente por el hecho de que $f$ es continua lejos de $0$. Para ello, sólo tienes que seguir el argumento Twiceler da.

Espero que ayude.