Su siguiente declaración es casi precisa:
“Soy consciente del argumento que dice que una perturbación invariante bajo inversión temporal solo puede acoplar los estados de borde de a pares, …”
La declaración anterior sería más precisa si reemplaza “acoplar” por “aniquilar”. El uso del primero en lugar del segundo tiene una interpretación físicamente distinta. Si comienzo con un Hamiltoniano diagonal (digamos) $H_{0}$, expresado como una matriz en la base de un número arbitrario de modos de borde sin brechas (incluso), entonces los electrones en estos modos no se dispersan entre sí si la matriz es diagonal. En otras palabras, los modos están desacoplados. Usando su ejemplo de tres pares de estados de borde, y asumiendo una dispersión tipo Dirac para ellos, podemos escribir su dispersión de energía-momento como $$E_{n,\pm}(k)=\pm\hbar v_{F,n}|k| \; ,$$ donde $n=1,2,3$ etiqueta los pares y $\pm$ identifica al compañero de Kramers. Suponiendo $v_{F,n}= v_{F}$ para todos los $n$, el Hamiltoniano puede expresarse en forma matricial (en la base que usted definió anteriormente) como $$H_{0}(k) = \hbar v_{F}|k|\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)$$
Ahora, si introducimos una perturbación $V$ (digamos de su ejemplo), y usamos una metáfora de tráfico, entonces los electrones en el mismo “carril” (codificado por colores como rojo o azul) pueden viajar en cualquier dirección. Como usted señaló correctamente, los electrones en los carriles rojos $| 1, 1 \rangle$ y $| 2, 1 \rangle$ pueden dar un “giro en U” al cambiar al carril $| 3, 2 \rangle$. En otras palabras, las impurezas no magnéticas pueden hacer retroceder a los electrones que se mueven hacia la derecha y viceversa. Un argumento equivalente puede hacerse para los carriles azules. Estos son, por construcción, procesos simétricos bajo inversión temporal. Aquí hay una rápida comprobación de cordura: sin impurezas magnéticas (y asumiendo conservación de $s_{z}$) no habrá cambios de espín. Por lo tanto, desacoplar los carriles rojo y azul asume implícitamente simetría bajo inversión temporal. El Hamiltoniano completo ahora se convierte en $$ H_{1}(k) = H_{0}(k) + V \; .$$
La dispersión de borde reconstruida se puede obtener diagonalizando el Hamiltoniano anterior independientemente para cada $k$. Para simplicidad analítica, centrémonos en $k=0$. Además, de todas maneras nos interesa la ausencia de brechas en los estados de borde. Nota: $$\begin{align} H_{1}(0) &= H_{0}(0) + V \\ &= V \end{align} \; .$$ Diagonalizando $V$ de una manera directa da como resultado dos veces dos (es decir, seis en total) valores propios $\varepsilon = 0, \; \sqrt{2}a, \; - \sqrt{2}a$. Note que dos pares de estados de borde han adquirido una brecha de banda de $2\sqrt{2}a$. Esto se puede ver como una aniquilación en el espacio de momento de un par de estados de borde.
Del ejemplo anterior, parecería que solo dos pares de estados absorbieron las dispersión mientras que el tercero permanecía intacto. Sin embargo, a partir de la expresión explícita de $V$, es evidente que la dispersión está ocurriendo en los tres pares. Esto se debe a que estamos mirando la matriz $V$ en la base original; es decir, antes de que se introdujera la perturbación. Como seguramente ya sabrá, en la teoría de bandas es común etiquetar bandas en una base diagonal en el espacio $k$. Por lo tanto, en la nueva base, la dispersión ocurre entre solo dos bandas de pares de Kramers (con brecha) dejando intacto el tercero (sin brecha). Otra forma de verlo es esta: podemos ver (contrario a la costumbre en la teoría de bandas) la estructura de bandas de los estados de borde en la nueva base antes de que se introduzca la perturbación. En otras palabras, podemos redefinir los estados de borde como combinaciones lineales de la antigua base utilizando los componentes de los eigenvectores de la diagonalización de $V$. Además, la combinación lineal de una base sin brechas será nuevamente sin brechas (ahora con $ v_{F,n}$ diferentes). En esta base, la dispersión solo ocurrirá entre dos pares de estados de borde (para $|E| < |\sqrt{2}a|$) al introducir lentamente $V$.
En el artículo de Hasan-Kane, los autores discuten una teoría general de aislantes topológicos de bandas. Por lo tanto, la Fig. 3 podría representar potencialmente una sección (en el espacio de momento) de las bandas $E(k_{x},k_{y},k_{z})$ a lo largo de una línea que conecta dos Puntos de Momento Invariantes bajo Inversión Temporal (TRIM) $\Gamma_{a}$ y $\Gamma_{b}$. Para el caso del efecto Hall cuántico del espín, $\Gamma_{a} = 0$ y $\Gamma_{b} = \pi$. Tomando una imagen especular con respecto a $\Gamma_{a}=0$ y trazando en el dominio $k\in[-\pi,\pi)$ se pueden ver claramente los conos de Dirac en $k=0$ y $k=\pi$. Para el modelo de Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ), el cono Dirac 1D aparece en $\Gamma_{a}=0$ para $0 < M/B < 4$ y en $\Gamma_{b}=\pi$ para $4 < M/B < 8$ pero no ambos simultáneamente. Para más detalles, consulte la referencia:
Shijun Mao, Yoshio Kuramoto, Ken-Ichiro Imura y Ai Yamakage. “Teoría analítica de modos de borde en aislantes topológicos.” Journal of the Physical Society of Japan 79, no. 12 (2010). (arXiv)
Nota: ellos usan $\Delta/B$ en lugar de $M/B$. Para obtener múltiples puntos de Dirac, como en la Fig. 3, necesitamos un modelo matemáticamente más complejo que el BHZ.
