Simple prueba Euler-Mascheroni $\gamma$ constante

Question

Estoy en busca de una prueba muy sencilla y hermosa que converge la secuencia $(un){n \in \mathbb{N}} = \sum\nolimits_{k=1}^n \frac{1}{k} - \log(n)$.
Primero quiero saber si mi respuesta está bien.

Mi intento:
$\lim\limits{n \rightarrow \infty} \sum\limits{k=1}^n \frac{1}{k} - \log (n) = \lim\limits{n \rightarrow \infty} \sum\limits{k=1}^n \frac{1}{k} + \sum\limits{k=1}^{n-1} \log(k)-\log(k+1) = \lim\limits{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \log(\frac{k}{k+1})+\frac{1}{k}$

$ = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}-\log(\frac{k+1}{k})$
Ahora se demuestra que la última suma converge por la prueba de comparación:
$\frac{1}{k}-\log(\frac{k+1}{k}) que seguramente tiene $k\geqslant 1$

---

Converge la $ \sum\limits{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ $ \Rightarrow \sum\limits{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}-\log(\frac{k+1}{k})$ converge como nombramos este límite $\gamma$
q.e.d

Answer 1

Una forma elegante de demostrar que la secuencia converge es mostrar que es decreciente y acotada por debajo.

Está disminuyendo porque $u_n-u_{n-1} = \frac1n - \log n + \log(n-1) = \frac1n + \log(1-\frac1n) < 0$ para todos $n$ . (La desigualdad es válida porque $\log(1-x)$ es una función cóncava, por lo que se encuentra por debajo de la línea $-x$ que es tangente a su gráfica en $0$ ; conectando $x=\frac1n$ produce $\log(1-\frac1n) \le -\frac1n$ .)

Está acotado por debajo porque $$ \sum_{j=1}^n \frac1j > \int_1^{n+1} \frac{dt}t = \log (n+1) > \log n, $$ y así $u_n>0$ para todos $n$ . (La desigualdad es válida porque la suma es una suma de Riemann de extremo izquierdo para la integral, y la función $\frac1t$ es decreciente).