Dado un espacio métrico completo y contable, digamos $X$ Me gustaría mostrar que tiene un subconjunto discreto y denso. Esto parece una aplicación del Teorema de la Categoría Baire, pero no parece ir a ninguna parte. Cualquier ayuda sería apreciada.
Respuesta
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Considere la colección $I$ de todos los puntos aislados de $X$ . (Por el teorema de la categoría Baire $I$ es no vacía, pero eso es algo irrelevante por el momento). Nótese que $I$ es entonces un subespacio discreto de $X$ . Si $I$ no fueran densos, entonces $U = X \setminus \overline{I}$ es un conjunto no vacío (abierto) sin puntos aislados. A partir de aquí podemos construir de la manera habitual un conjunto de Cantor como subconjunto de $X$ , contradiciendo que $X$ ¡es contable! (La construcción va como en la respuesta enlazada, sólo asegurando que el $x_\sigma$ se eligen entre $U$ .)
