Para sistemas de bosonic, ¿por qué $a|0\rangle=0$ y no $a|0\rangle=|0\rangle$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Consideremos el caso más simple de un oscilador armónico cuántico, con la creación y aniquilación de los operadores de $a^{\dagger}$ $a$ respectivamente. El estado fundamental de nuestro sistema es, $\lvert 0 \rangle$ que tiene una energía,
$$E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega$$
Cada vez que una creación operador de actos, el estado $\lvert n \rangle \to \lvert n+1 \rangle$, modulo algunas constantes. Del mismo modo, la aniquilación de los operadores reduce el número entero $n$. Por lo tanto, si aplicamos $a$ a la del estado fundamental, llegamos a $n=-1$, lo cual no está permitido,$^{\dagger}$ de lo contrario nuestro Hamiltoniano sería ilimitado desde abajo. Por lo que el estado debe ser completamente aniquilado, es decir, cero.
Supongamos que nos hizo aceptar su propuesta,
$$a \lvert 0 \rangle = \lvert 0 \rangle$$
Se puede demostrar que esta hipótesis conduce a una contradicción. Podemos calcular la norma de la tierra del estado,
$$ \left( \lvert 0 \rangle \right)^{\dagger} \left(\lvert 0 \rangle \right) = \left( a\lvert 0 \rangle \right)^{\dagger} \left(a\lvert 0 \rangle \right) = \langle 0 \lvert a^\dagger a \rvert 0 \rangle$$
Ahora, entonces, por la hipótesis de $a\lvert 0 \rangle = \lvert 0 \rangle$, podemos hacer el swap de nuevo,
$$\langle 0 \lvert a^\dagger a \rvert 0 \rangle = \langle 0 \lvert a^\dagger \rvert 0 \rangle = \langle 0 \lvert 1 \rangle$$
que es una contradicción, a menos que aceptemos $\vert 0 \rangle = \lvert 1 \rangle$, lo que evidentemente no es sensato.
$\dagger$ Una de las razones por $n=-1$ no está permitido es de la siguiente manera: Recordar que para el oscilador armónico cuántico, las desviaciones estándar de impulso y la posición que debe obedecer a la relación de las incertidumbres,
$$\sigma_x \sigma_p = \hbar\left( n + \frac{1}{2}\right) \leq \frac{\hbar}{2}$$
El valor más bajo $n$ puede tomar para obedecer la desigualdad es $n=0$; inferior y es violado.
