Un ejemplo de una convolución de distribución singular y una distribución gaussiana que tiene un pdf 'simple'

Question

Estoy buscando un ejemplo de una singular distribución que cuando se convoluciona con una distribución de Gauss tiene un pdf de un simple formulario.

Dejé que 'simple' ser algo que se interpreta a sí mismo.

Singular distribuciones son una clase de importación de las distribuciones que a menudo son " barrer bajo la alfombra.' Me gustaría ver un buen ejemplo ilustrativo de cómo trabajar con dichas distribuciones.

Una manera de hacerlo es a través de una función característica $\phi(t)$ que cuando se multiplica por $e^{-t^2/2}$ tiene una simple Fourier inversa.

Sin embargo, no tengo una buena elección de la función característica $\phi(t)$ que llevaría a un resultado significativo.

Por ejemplo, para el Cantor de distribución, la función característica está dada por \begin{align} \phi(t)=e^\frac{it}{2} \prod_{i=1}^\infty \cos \left( \frac{t}{3^k} \right). \end{align} Sin embargo, y no es fácil trabajar con esta función característica \begin{align} \phi(t) e^{-\frac{t^2}{2}}. \end{align} En particular, es difícil fuind su transformada de Fourier inversa.

Edit: Por singular distribuciones quiero decir: Una singular distribución es una distribución de probabilidad concentrada en un conjunto de medida de Lebesgue cero, donde la probabilidad de cada punto en que el conjunto es cero.

Edit 2: Otro enfoque que puede tomar es mirar la convolución directamente. Que es mirar el $U=X+V$ donde $V$ es de singular distribución y $X$ es Gaussiano, en este caso, el pdf de $U$ está dado por \begin{align} f_U(u)=E\left[ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(u-V)^2}{2}} \right] \end{align}

Me preguntaba si podemos llegar con una secuencia de variables aleatorias $V_n$ que converge en distribución a algunos $V$, con una singular distribución, para lo cual se puede calcular el límite \begin{align} \lim_{ n \to \infty}E\left[ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(u-V_n)^2}{2}} \right]. \end{align}

Answer 1

La delta de Dirac distribución comúnmente se caracteriza por las siguientes propiedades $$ \delta(x) = \left \{ \begin{array}{rl} \infty & x = 0 \\ 0 & x\neq 0 \end{array} \right. \etiqueta{1} $$ y, $$ \int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx = 1 \etiqueta{2} $$

El conjunto en el que $\delta$ toma un valor distinto de cero, se ha Lebesque medida cero, lo que significa que el Reimann integral en (2) se evalúa a cero. Esto ha llevado a que es visto como un abuso de notación, ya que es, por definición, es incorrecta.

En su lugar, podemos interpretar la integración, o maringalisation, en contra de la delta de Dirac distribución, utilizando la definición funcional de una distribución. Véase la sección 2.2 y a partir de este artículo.

En principio, da lugar a la interpretación de las distribuciones funcionales, que se caracteriza por una medida. Ellos toman una función o de distribución, tales como una Gaussiana y devolver un valor. Para la distribución normal aplicado a la delta de Dirac de distribución, tenemos, $$ \begin{align} \delta\{ \mathcal{N}(\cdot | \mu, \sigma ) \} =& \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{N}(x | \mu, \sigma) dH(x) \\ =& \mathcal{N}(0 | \mu, \sigma) \end{align} $$ Donde $H$ es el escalón unitario medida y la integral es una Reimann integral de Stieltjes.

Desde el delta de distribución sólo se admite en el set $\{0\}$ podemos definir una nueva distribución en el mismo soporte mediante la siguiente función, $$ f(x) = \left \{ \begin{array} \mathcal{N}(0 | \mu, \Sigma) & x=0 \\ 0 & x \neq 0 \end{array} \right. $$

La distribución definida por esta función (en el sentido funcional) está dada por, $$ F\{\gamma\} = \int_{-\infty}^{\infty} \gamma(x) f(x) dx $$

Esta definición no es un pdf en el estándar de sentido, pero puede ser interpretado como un pico centrado en cero, al igual que la distribución delta de Dirac.