Mostrar que no hay C ^ 1 Homeomorfismo de R ^ 3 a R ^ 2

Question

Demostrar que no existe ninguna C^1 homeomorphism de$R^3$$R^2$.

Soy plenamente consciente de que, en general, $R^m$ $R^n$ no homeomorphism por homología de la teoría. Me pregunto si añadimos la condición de $C^1$ que puede tener una prueba utilizando el cálculo diferencial.

Aquí es lo que he intentado en caso de que alguien pregunte:

Pensé que por el rango teorema de la diferencial de tal mapa no puede tener rango 2. Pero yo no veo ninguna contradicción si el rango es 1 o 0. No creo que voy por el camino correcto.

Answer 1

a) Si el lineal mapa de $df_A:\mathbb R^3\to \mathbb R$ rango $2$ a un solo punto de $A\in \mathbb R^3$, entonces localmente cerca de $A$ el rango teorema dice que un cambio de coordenadas $f(x,y,z)=(x,y)$, por lo que el $f$ no es inyectiva y por lo tanto aún menos un homeomorphism.

b) Si $f$ está en ningún lugar de la fila $2$, entonces todos los puntos de $\mathbb R^3$ son críticos .
Pero, a continuación, $f(\mathbb R^3)$ cero Lebesgue mide por Adrs del teorema y por lo tanto $f$ es hilarantemente lejos de ser surjective anf aún más lejos de ser un homeomorphism.
[El uso de la Adrs, requiere un poco más fuerte hipótesis de que la $f$ al menos $C^2$]

Answer 2

Permítanme ampliar mi comentario: yo pensé que estaba claro, Georges comentario muestra claramente que mi comentario fue claramente confuso.

La reclamación. Si $f: R^n\to R^{n-1}$ $C^1$- suave, a continuación, $f$ no puede ser inyectiva.

Prueba. Deje $k\le n-1$ el valor máximo de todos los $i$'s tales que existe un punto de $p\in R^n$ tal que $rank(df_p)=i$. Entonces, por la continuidad de la función determinante (aplicado a $k\times k$ submatrices de a $df$), existe un subconjunto abierto $U\subset R^n$ tal que $df$ rango $k$$U$. Ahora, aplica la constante de rango el teorema de la restricción $f|U$ y a la conclusión de que $f: U\to R^{n-1}$ no puede ser inyectiva. qed

Nota. No hay necesidad de apelar a la Adrs del teorema en este argumento.