Se trata de mi primera sustitución trigonométrica integral, así que por favor oso conmigo aquí. Me gustaría sobre todo verificación que mis métodos son sonidos.
$$\int\limits{\sqrt{2}}^{2}\dfrac{1}{t^3\sqrt{t^2-1}}\text{ d}t\text{.}$ $ Por el $\sqrt{t^2-1} = \sqrt{t^2-1^2}$ en el integrando, puse $t = 1\sec(\theta) = \sec(\theta)$ y $\theta = \sec^{-1}(t)$. Así $\text{d}t = \sec(\theta)\tan(\theta)\text{ d}\theta$ y $$\begin{align}\int\limits{\sqrt{2}}^{2}\dfrac{1}{t^3\sqrt{t^2-1}} \text{ d}t&= \int\limits{\pi/4}^{\pi/3}\dfrac{1}{\sec^{3}(\theta)\sqrt{\sec^{2}(\theta)-1}}\sec(\theta)\tan(\theta)\text{ d}\theta \ &= \int\limits{\pi/4}^{\pi/3}\dfrac{1}{\sec^{2}(\theta)}\text{ d}\theta \ &= \int\limits{\pi/4}^{\pi/3}\cos^{2}(\theta)\text{ d}\theta \ &= \dfrac{1}{2}\int\limits{\pi/4}^{\pi/3}[1+\cos(2\theta)]\text{ d}\theta \ &= \dfrac{1}{2}\left{\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\left[\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) - \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right]\right}\ &= \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\right)\right] \ &= \dfrac{\pi}{24}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\sqrt{3}-2}{2}\right)\text{.} \end{alinean} $$
Una pregunta rápida lateral: sin acceso a una calculadora y asumiendo han memorizado los valores de $\sin(x)$ $x = 0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}$, ¿cuál es la forma más fácil de encontrar $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$?
