Verificar y mejorar:$|x+\frac{1}{x}|\geq 6$

Question

Ejercicio:

Determinar los intervalos en los que la siguiente desigualdad se satisface: $$|x+\frac{1}{x}| \geq 6$$

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Intento:

Me disculpo por no MathJax-ifying este; la fácil-a-lea el formato está más allá de mi experiencia.

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Solicitud:

Puedo mejorar la solución para hacerla más elegante y concisa?

Answer 1

Mi respuesta trata de explicar con más precisión la simetría involucrada.

Consideremos: $$ f (x) \ equiv x + \ frac {1} {x} = - f (-x) $$ Por lo tanto, el LHS de la desigualdad es una función impar de x. Entonces, bajo un valor absoluto: $$ | f (x) | = | f (-x) | \ implica | f (x) | = | f (| x |) | \, \, \, \ forall x $$ Por lo tanto, puedes reemplazar$x\to|x|$ y resolver en consecuencia como otros usuarios han sugerido.

Answer 2

Posiblemente un enfoque más conciso (aunque el tuyo ciertamente es bueno):

• Para$|x+\frac{1}{x}| \geq 6$, solo debemos considerar$x>0$ por simetría (excluir$x=0$ como diga)
• $x+\frac{1}{x}\ge6\implies x^2-6x+1\ge0\iff(x-3)^2\ge8\iff|x-3|\ge2\sqrt{2}$
• Entonces, para$x>0$, nuestra solución es$0<x\le3-2\sqrt2\cup x\ge3+2\sqrt2$
• Para$x<0$, la simetría da$2\sqrt2-3<x<0\cup x<-3-2\sqrt2$
  • Alternativamente, podemos simplemente reemplazar cada$x$ con$|x|$ para llegar directamente a:

ps

Answer 3

Cuadre la desigualdad para deshacerse del valor absoluto.

ps

s$$\left(x+\frac1x\right)^2=x^2+\frac1{x^2}+2\ge36.$, esto puede ser reescrito

$x^2>0$ $ y completando el cuadrado,

ps

Entonces

$$x^4-34x^2+1\ge0$ $$$(x^2-17)^2\ge17^2-1=2\cdot12^2.$ $ y

ps

también escrito, después de denesing radical

ps

Answer 4

En primer lugar, no es necesario verificar los valores negativos / positivos$x$ por separado. Porque si la desigualdad se mantiene positiva (o negativa)$x$, también se cumple para$-x$. Entonces solo debes verificarlo por un lado.

Suponiendo$x>0$, tenemos $$ \begin{align} 6&\leq x+\frac1x\\ 0&\leq x^2-6x+1\\ 0&\leq (x-3)^2-8\\ 8&\leq (x-3)^2\\ 2\sqrt{2}&\leq|x-3|\\ \end {align} $$

que es equivalente a$$2\sqrt{2}\leq x-3 \quad\mathrm{or}\quad -2\sqrt{2}\geq x-3\\$ $ o$$x\geq3+2\sqrt{2} \quad\mathrm{or}\quad 0<x\leq 3-2\sqrt{2}\\$ $ Debido a la simetría alrededor de cero (como he mencionado al principio), la respuesta final es$$x\in(-\infty,-3-2\sqrt{2}]\cup[-3+2\sqrt{2},0)\cup(0,3-2\sqrt{2}]\cup[3+2\sqrt{2},\infty)$ $