Así que estoy algo confundido. Lema de Zorn, dice que si cada cadena tiene un supremum en un poset se define entonces el poset tiene un elemento maximal. Mi pregunta es, ¿cómo esto condujo a la prueba de que un conjunto denso en un poset por lema de Zorn tiene un antichain máxima como un subconjunto del conjunto denso?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos $D$ es un subconjunto denso de un poset $P$. Definir $Q$ ser parte de la familia de todos los antichains de $P$ compone de elementos de $D$, ordenados por inclusión. Por el Lema de Zorn $Q$ tiene un elemento maximal, se $A$. En particular, esto significa que por cada $y \in D$ $y \in A$ o $A \cup \{ y \}$ no es un antichain, lo que implica que $y$ es compatible con algún elemento de $A$; en ambos casos $y$ es compatible con algún elemento de $A$.
Para mostrar que $A$ es en realidad una máxima antichain en $P$ es suficiente para mostrar que todos los $x \in P$ es compatible con un elemento de $A$. Dado $p \in P$s $D$ es denso en $P$ no es un porcentaje ( $y \in D$ $y \leq x$ . Por lo anterior no es un $a \in A$ tal que $a$ $y$ son compatibles. De ello se desprende que $x$ $a$ son compatibles.
