Aplicación del teorema de Taylor a un mapa lineal

Question

Encontré lo siguiente en una pila de problemas de práctica, pero tuve problemas para resolverlo:

Consideremos un mapa lineal $A:C^\infty(\mathbb{R}^n)\rightarrow \mathbb{R}$ tal que:

Si $f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ con $f(0)=0$ y $f(x)\geq 0$ en un barrio de $0$ entonces $A(f)\geq 0$ .

Demuestre que existe $a_{ij},b_i,c\in\mathbb{R}$ tal que: $$ A(f)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}f_{x_ix_j}(0)+\sum_{i=1}^n b_i f_{x_i}(0)+cf(0) $$

¿Cómo se pueden abordar estas cuestiones? ¿Alguna pista?

Answer 1

Sólo haré el caso de $n = 1$ desde el caso general es similar. Tenga en cuenta que es suficiente para demostrar que $f(0) = f'(0)=f''(0) = 0$ implica $A(f) = 0$. Para ver esto, supongamos $A(1) =c, A(x) = b, A(x^2) = a$. A continuación, para cualquier $g$, $h(x):= g(x)- g(0) - g'(0)x-\frac{1}{2}g''(0)x^2$ satisface $h(0) = h'(0)=h''(0)=0$. Luego, por supuesto, $A(h) = 0$ y, por tanto, $A(g) = A(g(0)+ g'(0)x+\frac{1}{2}g''(0)x^2) = ag''(0) + bg'(0)+\frac{1}{2}cg(0)$ como se desee.

Ahora mostramos $f(0) = f'(0)=f''(0) = 0$ implica $A(f) = 0$. La serie de Taylor con resto (que vale para todas las funciones lisas), implica que el $f(x) = ax^3+ g(x)x^4$ para algunos liso $g$ en algunos pequeño barrio de $0$ (que podría ser cero si $f'''(0) = 0$). Tenga en cuenta que $f_\epsilon(x) = f(x) + \epsilon x^2 = ax^3 + g(x)x^4 + \epsilon x^2 = x^2(ax+ g(x)x^2+ \epsilon) \ge 0$ por un tiempo suficientemente pequeño barrio en torno a $0$ dependiendo $\epsilon$ desde $\lim_{x\rightarrow 0} ax+ g(x)x^2 = 0$. También, $f_\epsilon(0)=0$. Por lo tanto $A(f_\epsilon) \ge 0$ y esto vale para todos los $\epsilon$. Desde $A$ es lineal, tenemos $A(f) + \epsilon A(x^2) \ge 0$, y dado que esta tiene para todos los $\epsilon$, obtenemos $A(f) \ge 0$. Del mismo modo $g_\epsilon(x) = -f(x) + \epsilon x^2$ $g_\epsilon \ge 0$ por un tiempo suficientemente pequeño barrio (dependiendo $\epsilon$) y $g_\epsilon(0)= 0$, por lo que, como antes, obtenemos $A(-f) \ge 0$$A(f) \le 0$. Por lo tanto, $A(f) = 0$ como se desee.

Answer 2

Supongo que $f_{x_i},f_{x_ix_j}$ son derivadas parciales de $f$ .

No sé si el resultado requerido es válido para $C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ Sin embargo, creo que es válido para $An(0)$ el conjunto de funciones reales de $n$ variables reales, definidas en una vecindad de $0$ y analítica en $0$ Es decir, $f\in An(0)$ IFF hay $\epsilon >0$ s.t. si $||x||=\max_i|x_i|<\epsilon$ entonces $f(x)=\sum_{k_1,\cdots,k_n}a_{k_1,\cdots,k_n}x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}$ donde para cada $0<r<\epsilon$ , $\sum_{k_1,\cdots,k_n}|a_{k_1,\cdots,k_n}|r^{k_1+\cdots+k_n}<\infty$ . Considero que una norma sobre $An(0)$ y asumo que $f$ es una función lineal continua; de hecho, sólo necesito escribir $A(f)=\sum_{k_1,\cdots,k_n}a_{k_1,\cdots,k_n}A(x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n})$ .

Parte 1. Demostramos que $A(x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n})=A(p)=0$ cuando $k_1+\cdots+k_n\geq 3$ . Basta con considerar (cf. el post del usuario39598) $p+\epsilon \sum_i x_i^2$ y $-p+\epsilon \sum_i x_i^2$ . Entonces $A(f)=\sum_{k_1+\cdots+k_n\leq 2}a_{k_1,\cdots,k_n}A(x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n})=\sum_{i,j} a_{ij}f_{x_ix_j}(0)+\sum_{i} b_i f_{x_i}(0)+cf(0)$ .

Parte 2. Demostramos que hay $X$ simétrico $\geq 0$ y los números reales $(b_i)_i,c$ (sin ninguna condición) s.t. $A(f)=tr(XHess(f))+\sum_i b_if_{x_i}(0)+cf(0))$ .

Uno tiene $A(f(x)-\sum_i f_{x_i}(0) x_i-f(0))=\sum_{ij}a_{ij}f_{x_ix_j}(0)$ o $A(g(x))=\sum_{ij}a_{ij}g_{x_ix_j}(0)$ donde $g=f+$ (función afín).

Tenga en cuenta que $g(x)=f(x)-\sum_i f_{x_i}(0) x_i-f(0)=1/2.x^THess(g)x+O(||x||^3)$ donde $Hess(g)=[f_{x_ix_j}(0)]$ . Entonces $Hess(g)>0$ implica que localmente $g\geq 0$ que implica $\sum_{ij}a_{ij}f_{x_ix_j}(0)\geq 0$ .

Supongamos que $Hess(g)\geq 0$ ; a continuación, consideramos $h$ la homogénea de grado $2$ s.t. $Hess(h)=Hess(g)$ . Entonces, globalmente $h\geq 0$ y $\sum_{ij}a_{ij}f_{x_ix_j}(0)\geq 0$ . Por último, para cada $f$ , $[f_{x_ix_j}(0)]\geq 0$ implica $\sum_{ij}a_{ij}f_{x_ix_j}(0)\geq 0$ . Dado que las matrices $B=[f_{x_ix_j}(0)]$ son simétricos, podemos suponer que la matriz $X=[a_{ij}]$ es simétrico (si no, cambia $X$ con $1/2(X+X^T)$ ).

Entonces, debemos elegir una simetría $X=[a_{ij}]$ s.t. $B\geq 0$ implica $tr(XB)\geq 0$ . Equivale a $X\geq 0$ (podemos suponer que $X$ es diagonal y deducimos fácilmente que sus valores propios son $\geq 0$ ).

Y hemos terminado.

EDITAR. Sobre la parte 1., la prueba del usuario39598 para $C^{\infty}(\mathbb{R})$ es correcto. Podemos tratar el caso $n>1$ , de la misma manera, poniendo $f(x)=1/6.f'''(0)(x,x,x)+(\sum_i x_i^2)^2g(x)$ donde $g\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ y considerando $\pm f(x)+\epsilon \sum_ix_i^2$ .