Pregunta conceptual sobre espacios localmente convexos

Question

Supongamos que tenemos un localmente convexo del espacio $(V,P)$ donde $V$ es un espacio vectorial topológico y $P$ es una familia de seminorms definido en $V$ tal que para cada valor distinto de cero $x\in V$ no es un porcentaje ($p\in P$tal que $p(x)\neq 0$.

Mi pregunta es acerca de la topología $P$ induce en $V$. Sé que la definición: un conjunto $U$ está abierto en $V$ si para cada valor distinto de cero $x\in V$ existe $p_{1}, ... , p_{n} \in P$ $\epsilon_{1}, ... \epsilon_{n} > 0$ tal que

$x \in \{y\in V : p_{i}(x - y) < \epsilon_{i}$ por cada $i=1,..., n\}\subset U$.

Mi pregunta es la siguiente:

Es este el equivalente a decir que una red $x_{\alpha}$ converge a $x$ $V$ si y sólo si $p(x_{\alpha})\to p(x)$ por cada $p\in P$?

Answer 1

Jajaja Por ejemplo, $\mathbb{R}$ con su topología generalmente es un espacio localmente convexo: tomar $P$ que consiste en el solo seminorm $p(x) = |x|$. Ahora consideremos la secuencia $x_n = (-1)^n$. No tenemos $x_n \to 1$, pero tenemos $p(x_n) \to p(1)$.

(Recuerde: no son lineales seminorms.)

Lo cierto, sin embargo, es que $x\alpha \to x$ $V$ si y sólo si $p(x\alpha - x) \to 0$ cada $p \in P$. Esto no debe ser demasiado difícil de probar de las definiciones.