PDE no lineal relacionadas con cero del Hessian

Question

Considere la posibilidad de $$f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 =0$$

donde $f=f(x,y)$ es un bien comportado de la función. Este PDE es el determinante de la Arpillera.

Soluciones para $f$ son la solución trivial, $f=$constante y $f=ax+by$ $a,b$ constante.

Sin embargo, $f=f(x-cy)$ $c$ una constante también satisface esta ecuación. Esto implica que hay líneas de valor constante a lo largo de $\xi = x-cy$. Es decir, la curvatura coro de estas líneas es cero, lo que está de acuerdo con mi intuición como el determinante es proporcional a la curvatura de Gauss.

Hay más soluciones generales?

Answer 1

Además de las soluciones obvias en la forma: %#% $ #% otra familia de soluciones se obtiene gracias a la separación del método de las variables: $$f(x,y)=F(ax+by+c) \quad\text{ any differentiable function }F$ $ cualquier constantes $$f(x,y)=C\:(x+x_0)^{1/(1-\lambda)}(y+y_0)^{\lambda/(\lambda-1)}$, $C$, $x_0$ y $y_0$.