Que $X$ sea un espacio topológico compacto de Hausdorff. Supongamos que $X$ no es un singleton y $C(X)$ denota el espacio de funciones continuas en $X$. ¿Tenemos para todos los $L \subset C(X)$ un subespacio nondense, existen dos medidas de probabilidad que está de acuerdo en la integración contra todos los elementos pero no de $L$ $C(X)$? Aquí $L$ se asume para contener las constantes. (Esta última frase se añadió después de mi comentario, pero antes de la respuesta).
Respuesta
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Yo no veo ninguna contraejemplos. Si $L$ es un subespacio de que no es denso en $C(X)$, entonces (por Hahn-Banach) no hay un valor distinto de cero la función lineal cuyo núcleo contiene $L$. Por la representación de Riesz, este funcional está dada por la integración en contra de una firma de medida $\nu$. Por Hahn-Jordan teorema de descomposición, $\nu$ $\nu^+-\nu^-$ donde ambas medidas son positivo (y finito, ya que $\nu$ es). Desde $L$ contiene constantes, $\nu^+(X)=\nu^-(X)$. Normalizar las medidas, y listo.
En el caso de $X$ ser un singleton, la declaración sigue siendo cierto, vacuously: no es $L$ que satisface las hipótesis.
