¿Cuál es el grupo de isometría de la variedad riemanniana $\mathbb{T}\times \mathbb{T}$ donde $\mathbb{T}=\{z\in \mathbb{C}\ :\ |z|=1\}$ ¿es el toro clásico?
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guruz
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Me gustaría complementar la excelente y perspicaz respuesta de Jason señalando que el estabilizador de un punto que él calcula es el grupo diedro $D_8$ y el grupo de isometría completo no es $D_8\times \mathbb T^2$ como suponía, pero en realidad el producto semidirecto $D_8\rtimes_\varphi \mathbb T^2$ donde $\varphi\colon D_8\to Aut(\mathbb T^2)$ es el mapa obvio. Puedes ver que no es un producto directo calculando con un ejemplo sencillo. Digamos que tomamos $\rho\in D_8$ para ser el reflejo en el $y$ -eje y $T$ ser la isometría que mueve las cosas hacia la derecha por $.25$ unidades. Entonces $T\rho(0)= 0.25\neq \rho T(0)=.75$ .
No debería ser muy difícil escribir un isomorfismo explícito de $Isom(\mathbb T^2)$ a $D_8\rtimes_\varphi \mathbb T^2$ .
Voy a resolver algunas de las piezas y dejaré que tú resuelvas los detalles.
En primer lugar, el grupo de isometría contiene una copia canónica de $\mathbb{T}^2$ obtenido por multiplicación por elementos en $\mathbb{T}^2$ (recordando que $\mathbb{T}^2$ es un grupo de Lie). Esto ya es suficiente para ver que cada punto de $\mathbb{T}^2$ puede ser trasladado a cualquier otro por una isometría, es decir, $\mathbb{T}^2$ es homogénea.
Esto significa que en realidad sólo tenemos que averiguar cuáles son las isometrías que fijan un punto.
Pensando en $\mathbb{T}^2$ como un cuadrado con lados identificados, estoy pensando que el punto es la esquina inferior izquierda (= superior izquierda = superior derecha = inferior derecha). Concéntrese en las líneas verticales y horizontales que emanan de este punto. Afirmo que cada una de ellas es una geodésica (si se parametriza correctamente) y que tienen la misma longitud, y que son más cortas que cualquier otra geodésica cerrada que parta del punto que hemos elegido.
Esto demuestra que hay como máximo 8 isometrías que fijan este punto: La línea vertical puede ir a la línea horizontal o vertical atravesada en un sentido o en otro (4 opciones) y la línea horizontal debe ir a la otra línea, pero aún podemos elegir en qué sentido atravesarla. Se trata de un grupo isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}^3$ generado por 3 elementos: Cambio de dirección vertical, cambio de dirección horizontal, intercambio de vertical y horizontal.
De ello se deduce que el grupo de isometría está generado por $\mathbb{T}^2$ y estas otras 8 isometrías. Te dejo que pruebes que $\mathbb{T}^2$ está en el centro del grupo de isometrías (lo cual es fácil después de observar que sólo estás comprobando la conjugación por estas 8 isometrías extra, y que puedes reducir esto a comprobar sólo 2 casos).
Esto debería ser suficiente para que escribas todo el grupo de isometrías.
