Categoría Monoidal (Condiciones de Coherencia)

Question

En la definición de un categoría monoidal A continuación, alguien puede explicar la idea que hay detrás de las condiciones de coherencia, especialmente la construcción del diagrama del pentágono. ¿Por qué necesitamos cuatro elementos A, B, C y D en la categoría C ? ¿La idea es tratar de cubrir todas las posibles agrupaciones asociativas para los 4 objetos en C ?

Answer 1

Lo que queremos que tenga la estructura de una categoría monoidal es que exista un isomorfismo de coherencia único entre dos formas cualesquiera de asociar un producto de longitud arbitraria, así como introducir y eliminar un número arbitrario de factores unitarios.

Para los monoides ordinarios, sabemos que la asociatividad general se desprende de la $(ab)c = a(bc)$ forma. (y de forma similar para la introducción/eliminación de unidades)

Esto es básicamente suficiente para demostrar que se puede construir un morfismo de coherencia arbitrario utilizando sólo asociadores $\alpha_{ABC} : (A \otimes B) \otimes C \to A \otimes (B \otimes C)$ junto con los dos unitores, el producto monoidal y la composición. Esto permite definir la estructura monoidal utilizando sólo estos tres isomorfismos naturales.

Así que lo que queda es una forma de garantizar que los morfismos de coherencia sean únicos. Con el tiempo, se ha demostrado que basta con exigir las leyes del pentágono y del triángulo para garantizar la unicidad.