Factorización de un polinomio.

Question

Factorizar el polinomio

$$P(x)= \begin{vmatrix} a_1^2-x & a_{1}a_2 & a_1a_3 & \cdots & a_1a_n \\ a_2a_1 & a_2^2-x & a_{2}a_3 & \cdots & a_2a_n\\ a_3a_1 & a_3a_2 & a_3^2-x & \cdots & a_3a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_na_1 & a_na_2 & a_na_3 & \cdots & a_n^2-x\\ \end{vmatrix}$$

Estaba pensando en obtener los valores propios de la matriz, pero no he encontrado la manera de determinarlos.

También he intentado obtener el determinante para n=2 :

determinante = $X(X-(a_1^2+a_2^2))$

Sin embargo, esto no es suficiente para generalizar el determinante

Se agradece cualquier sugerencia o consejo.

También agradecería si alguien conoce algún lugar donde pueda abordar problemas similares .

Gracias de antemano.

Answer 1

El determinante es el polinomio característico de la matriz $$\begin{pmatrix} a_1^2 & a_{1}a_2 & a_1a_3 & \cdots & a_1a_n \\ a_2a_1 & a_2^2 & a_{2}a_3 & \cdots & a_2a_n\\ a_3a_1 & a_3a_2 & a_3^2 & \cdots & a_3a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_na_1 & a_na_2 & a_na_3 & \cdots & a_n^2\\ \end{pmatrix} =(a_1,...,a_n)^T\cdot(a_1,...,a_n)$$ Como se menciona en los comentarios, esta matriz tiene un rango $1$ y por tanto tiene un núcleo de dimensión $n-1$ . Así, $0$ es un valor propio de multiplicidad $n-1$ .

Los casos $n=1,2,3$ sugieren que $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2$ es un valor propio con un vector propio $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ que es fácil de verificar.

Por lo tanto, el polinomio característico de la matriz es $(-1)^{n}x^{n-1}(x-(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2))$ .