Teoría del número algébrico - lema de Fermat ' ecuación de s $n=3$

Question

Tengo que probar el siguiente, en mis notas es el lema antes de Fermat Ecuación, caso de $n=3$. Tuve la oportunidad de probar todo lo que hasta los dos últimos puntos:

Deje $\zeta=e^{(\frac{2\pi i}{3})}$. Considere la posibilidad de $A:=\mathbb{Z}[\zeta]=\{a+\zeta b \quad|\quad a,b\in \mathbb{Z}\}$. Entonces

1. $\zeta$ es una raíz de la irreductible poli. $X^2+X+1$.
2. El campo de fracciones de $A$ $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$
3. La norma mapa de $N:\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\rightarrow \mathbb{Q},$ $a+\sqrt{-3}b \mapsto a^2+3b^2$ es multiplicativo y envía cada elemento en $A$ a un elemento en $\mathbb{Z}$. En particular, $u\in A$ es una unidad iff $N(u)\in\{-1,1\}$. Por otra parte, si $N(a)=\pm$ primer número, $a$ es irreductible.
4. El grupo de la unidad de $A^x$ es cíclico de orden $6$. ($A^x=\{\pm 1, \pm\zeta, \pm\zeta^2\}$)
5. El anillo de $A$ es la Euclídea con respecto a la norma $N$ y, por tanto, una única factorización de dominio.
6. El elemento $\lambda=1-\zeta$ es un primer elemento en $A$$3=-\zeta^2\lambda^2$.
7. El cociente $A$ / $(\lambda)$ es isomorfo a $\mathbb{F}_3$.
8. La imagen del conjunto $A^3=\{a^3|a\in A\}$ bajo $\pi: A \rightarrow A / (\lambda^4)=A / (9)$ es igual a $\{0+(\lambda^4),\pm 1+(\lambda^4),\pm \lambda^3+(\lambda^4)\}$

Yo no era capaz de probar 7 y 8. 7 yo no sé ni que isomorfismo, supongo que debe ser un isomorfismo de anillos?

Espero que nadie sabe qué hacer o tiene al menos algunas sugerencias,

Gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

Para 7), tenga en cuenta que 6) le dice que $3 \in (\lambda)$ y desde 6) $\lambda$ es prime, $A \ne (\lambda)$. Por otra parte $a + \zeta b = a + (1-\lambda) b \equiv a + b \pmod{\lambda}$. Así que si quieres un isomorfismo explícito, es $a + \zeta b + (\lambda) \mapsto a+ b \pmod{3}$.

Answer 2

Para (7), notó por primera vez que, desde el $\lambda\mid 3$, con la característica de que el anillo cociente $A/(\lambda)$$3$. Ahora $N(\lambda)=3$, por lo que por (3), $\lambda$ es irreductible. Esto implica que el cociente del anillo es en realidad un campo. De nuevo desde $N(\lambda)=3$, nos encontramos con que la inercia grado de $\lambda$$\mathbb Q$$1$, es decir,$A/(\lambda)\cong F_3$.
Para (8), ya que $(a+b\zeta)^3=a^3+b^3-3ab^2+\zeta(3a^2b-3ab^2)$, nos encontramos con que $(a+b\zeta)^3$ es enviado a $0$ si y sólo si ambas $9$ divide $a^3+b^3-3ab^2$ $3$ divide $ab(a-b)$. El último ocurre si y sólo si $3$ divide $a$, $b$, o $a\equiv b\pmod 3$. En cada uno de los casos, llegamos a la conclusión de que $3$ divide tanto a a$a$$b$. Así que, para encontrar la imagen de $\mathbb A^3$ bajo $\pi$, uno comprueba cada una de las $9$ de los casos, y tomando nota de que $\zeta\equiv1\pmod{\lambda}$$\lambda^2=-3\zeta$.
Espero que esto ayude.