Topologías en un espacio de 3 puntos

Question

Deje $Y_1$ el valor de 2 puntos discretos del espacio, $Y_2$ 2 puntos indiscreta espacio y $Y_3$ 2 puntos del espacio que no es ni discretas ni indiscreta. Deje $X$ denotar un conjunto con 3 puntos y describir las topologías en $X$ tal que $X$ tiene subespacios homeomórficos a dos de las $Y_i$'s. Puede haber una topología en $X$ tal que $X$ tiene subespacios $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$ tal que $Z_i$ es homeomórficos a $Y_i$ por cada $i$?

Así que estoy un poco confundido en cuanto a cómo conceptualizar la $Y_2$ $Y_3$ espacios. Tampoco estoy seguro de cómo los subespacios de X puede ser homeomórficos a dos $Y_i$'s. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $Y = \{ 1 , 2 \}$, topologías en $Y$ correspondiente a $Y_1$, $Y_2$, y $Y_3$, respectivamente, son

1. $\{ \emptyset , \{ 1 \} , \{ 2 \} , Y \}$;
2. $\{ \emptyset , Y \}$;
3. $\{ \emptyset , \{ 1 \} , Y \}$.

Consideremos ahora un conjunto de tres elementos $X = \{ a , b , c \}$.

• Primero supongamos que tenemos la siguiente topología de $X$: $\{ \emptyset , \{ a \} , \{ b , c \} , X \}$. Tenga en cuenta que el subespacio $\{ a , b \}$ $X$ tiene como abrir establece lo siguiente:

  • $\emptyset \cap \{ a , b \} = \emptyset$;
  • $\{ a \} \cap \{ a , b \} = \{ a \}$;
  • $\{ b , c \} \cap \{ a , b \} = \{ b \}$;
  • $X \cap \{ a , b \} = \{ a , b \}$

  Y de ello se sigue que el $\{ a , b \}$ es un subespacio discreto de $X$; es decir, es homeomórficos a $Y_1$.

• Ahora considere la siguiente topología de $X$: $\{ \emptyset , \{ b , c \} , X \}$. En una manera similar a la anterior nos encontramos con que la topología en el subespacio $\{ a , b \}$$\{ \emptyset , \{ b \} , \{ a , b \} \}$, y para este subespacio es homeomórficos a $Y_3$.

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Mientras que usted podría ir a través de todos los 29 de topologías en $X$ (bueno, los 9 hasta los homeomorphism) para mostrar que ninguno tiene cada uno de $Y_1 , Y_2, Y_3$ como subespacios, se puede demostrar mediante el análisis de los topologías en $X$ que han homeomórficos copias de $Y_1$ $Y_2$ como subespacios.

Si $Z_1$, $Z_2$ indicar los subespacios de $X$ homeomórficos a $Y_1$, $Y_2$, respectivamente, tenga en cuenta que $| Z_1 \cap Z_2 | = 1$. Así que sin pérdida de generalidad $Z_1 = \{ a , b \}$$Z_2 = \{ a , c \}$. Deje $U,V,W$ denotar la más pequeña abrir barrios de $a,b,c$, respectivamente, en $X$.

• Como $U \cap Y_1 = \{ a \}$$U \cap Y_2 = \{ a , c \}$,$U = \{ a , c \}$.
• Como $c \in U$ debemos tener $W \subseteq U = \{ a,c \}$, y como $W \cap Y_2 = \{ a , c \}$, se deduce que el $W = \{ a , c \}$.
• Como $V \cap Y_1 = \{ b \}$,$V \subseteq \{ b , c \}$. Si $c \in V$, $V \cap W = \{ c \}$ es también abierta la vecindad de $c$, lo cual es imposible ya que $W = \{ a , c \}$ es el más pequeño de abrir barrio de $c$.

Esto significa que la topología en $X$$\{ \varnothing , \{ a , c \} , \{ b \} , X \}$, y es fácil demostrar que $X$ no tiene ningún subespacio homeomórficos a $Y_3$.

Answer 2

Si $Y_1=\{a,b\}$, entonces la topología en $Y_1$ (el conjunto de bloques abiertos) es $\bigl\{\emptyset,\{a\},\{b\},Y_1\bigr\}$. Si $Y_2=\{c,d\}$, entonces la topología en $Y_2$$\bigl\{\emptyset,Y_2\bigr\}$. Si $Y_3=\{e,f\}$, entonces la topología en $Y_3$ no debe ser ni el $\bigl\{\emptyset,\{e\},\{f\},Y_1\bigr\}$ ni $\bigl\{\emptyset,Y_3\bigr\}$; por lo tanto es $\bigl\{\emptyset,\{e\},Y_1\bigr\}$ o $\bigl\{\emptyset,\{f\},Y_1\bigr\}$ (y, en realidad, no hay necesidad de distinguir estos dos casos como el intercambio de $e$ $f$ es un homeomorphism entre estas dos topologías); tenga en cuenta que exactlya uno de los puntos en $Y_3$ es cerrado.

Deje $X=\{u,v,w\}$ ser un tres punto del espacio de que entre los tres dos-punto de subespacios $Z_1=\{v,w\}, Z_2=\{u,w\},Z_3\{u,v\}$ hay una homeomórficos a cada una de las $Y_i$. Wlog. (es decir, porque podemos cambiar el nombre de los elementos de $X$) $Y_i\cong Z_i$. Por definición de la topología de subespacio,un conjunto $U\subseteq Z_i$ es (relativamente) abrir el fib no es un conjunto abierto $V\subseteq X$$U=V\cap Z_i$. De $Z_1\cong Y_1$, vemos que uno de los conjuntos de $\{v\}$ $\{u,v\}$ está abierto. De $Z_2\cong Y_2$, podemos ver que ni la $\{u\}$ ni $\{u,v\}$ es abierto, por lo tanto $\{v\}$ está abierto. También, uno de $\{w\}$, $\{u,w\}$ está abierto (porque de $Z_1$), pero ninguno de $\{w\}$, $\{v,w\}$ es abierto, por lo tanto $\{u,w\}$ está abierto. Pero desde $\{v\}$ $\{u,w\}$ están abiertas en $X$, sus intersecciones $\{v\}$ $\{u\}$ son relativamente abierta en $Z_3$, haciendo de $Z_3$ discretos a diferencia de $Y_3$.

Podemos obtener una topología en $X$ si soltamos el deseo de $Z_3$? Utilizando sólo la información sobre $Z_1$$Z_2$, hemos obtenido la siguiente información: $$\begin{align}\emptyset & \text{is always open}\\ \{u\}&\text{not open}\\ \{v\}&\text{open}\\ \{u,v\}&\text{not open}\\ \{w\}&\text{not open}\\ \{u,w\}&\text{open}\\ \{v,w\}&\text{not open}\\ \{u,v,w\}&X\text{ is always open}\\ \end{align} $$ Es decir, ya sabemos que la topología en $X$ es, precisamente,$\bigl\{\emptyset,\{v\},\{u,w\},X\bigr\}$.