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Topologías en un espacio de 3 puntos

Deje Y1 el valor de 2 puntos discretos del espacio, Y2 2 puntos indiscreta espacio y Y3 2 puntos del espacio que no es ni discretas ni indiscreta. Deje X denotar un conjunto con 3 puntos y describir las topologías en X tal que X tiene subespacios homeomórficos a dos de las Yi's. Puede haber una topología en X tal que X tiene subespacios Z1, Z2, Z3 tal que Zi es homeomórficos a Yi por cada i?

Así que estoy un poco confundido en cuanto a cómo conceptualizar la Y2 Y3 espacios. Tampoco estoy seguro de cómo los subespacios de X puede ser homeomórficos a dos Yi's. Gracias por la ayuda.

2voto

user27515 Puntos 214

Tenga en cuenta que si Y={1,2}, topologías en Y correspondiente a Y1, Y2, y Y3, respectivamente, son

  1. {,{1},{2},Y};
  2. {,Y};
  3. {,{1},Y}.

Consideremos ahora un conjunto de tres elementos X={a,b,c}.

  • Primero supongamos que tenemos la siguiente topología de X: {,{a},{b,c},X}. Tenga en cuenta que el subespacio {a,b} X tiene como abrir establece lo siguiente:

    • {a,b}=;
    • {a}{a,b}={a};
    • {b,c}{a,b}={b};
    • X{a,b}={a,b}

    Y de ello se sigue que el {a,b} es un subespacio discreto de X; es decir, es homeomórficos a Y1.

  • Ahora considere la siguiente topología de X: {,{b,c},X}. En una manera similar a la anterior nos encontramos con que la topología en el subespacio {a,b}{,{b},{a,b}}, y para este subespacio es homeomórficos a Y3.


Mientras que usted podría ir a través de todos los 29 de topologías en X (bueno, los 9 hasta los homeomorphism) para mostrar que ninguno tiene cada uno de Y1,Y2,Y3 como subespacios, se puede demostrar mediante el análisis de los topologías en X que han homeomórficos copias de Y1 Y2 como subespacios.

Si Z1, Z2 indicar los subespacios de X homeomórficos a Y1, Y2, respectivamente, tenga en cuenta que |Z1Z2|=1. Así que sin pérdida de generalidad Z1={a,b}Z2={a,c}. Deje U,V,W denotar la más pequeña abrir barrios de a,b,c, respectivamente, en X.

  • Como UY1={a}UY2={a,c},U={a,c}.
  • Como cU debemos tener WU={a,c}, y como WY2={a,c}, se deduce que el W={a,c}.
  • Como VY1={b},V{b,c}. Si cV, VW={c} es también abierta la vecindad de c, lo cual es imposible ya que W={a,c} es el más pequeño de abrir barrio de c.

Esto significa que la topología en X{,{a,c},{b},X}, y es fácil demostrar que X no tiene ningún subespacio homeomórficos a Y3.

2voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Si Y1={a,b}, entonces la topología en Y1 (el conjunto de bloques abiertos) es {,{a},{b},Y1}. Si Y2={c,d}, entonces la topología en Y2{,Y2}. Si Y3={e,f}, entonces la topología en Y3 no debe ser ni el {,{e},{f},Y1} ni {,Y3}; por lo tanto es {,{e},Y1} o {,{f},Y1} (y, en realidad, no hay necesidad de distinguir estos dos casos como el intercambio de e f es un homeomorphism entre estas dos topologías); tenga en cuenta que exactlya uno de los puntos en Y3 es cerrado.

Deje X={u,v,w} ser un tres punto del espacio de que entre los tres dos-punto de subespacios Z1={v,w},Z2={u,w},Z3{u,v} hay una homeomórficos a cada una de las Yi. Wlog. (es decir, porque podemos cambiar el nombre de los elementos de X) YiZi. Por definición de la topología de subespacio,un conjunto UZi es (relativamente) abrir el fib no es un conjunto abierto VXU=VZi. De Z1Y1, vemos que uno de los conjuntos de {v} {u,v} está abierto. De Z2Y2, podemos ver que ni la {u} ni {u,v} es abierto, por lo tanto {v} está abierto. También, uno de {w}, {u,w} está abierto (porque de Z1), pero ninguno de {w}, {v,w} es abierto, por lo tanto {u,w} está abierto. Pero desde {v} {u,w} están abiertas en X, sus intersecciones {v} {u} son relativamente abierta en Z3, haciendo de Z3 discretos a diferencia de Y3.

Podemos obtener una topología en X si soltamos el deseo de Z3? Utilizando sólo la información sobre Z1Z2, hemos obtenido la siguiente información: is always open{u}not open{v}open{u,v}not open{w}not open{u,w}open{v,w}not open{u,v,w}X is always open Es decir, ya sabemos que la topología en X es, precisamente,{,{v},{u,w},X}.

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