Convergencia/divergencia de la secuencia definida por una relación de recurrencia

Question

Dada la siguiente secuencia: $$ a_{n+1} = a_n(2 - a_n) $$ para que los valores de $a_1 \in \mathbb{R}$ no esta secuencia converge o diverge.

Por ensayo y error, he encontrado que para $a_1 \in (0, 2)$ converge a $1$ $a_1 \in \{ 0 , 2 \}$ converge a $0$ y para el resto de valores se va a $-\infty$.

Pero ¿cómo podemos demostrar estos hechos? Si el límite existe, entonces puedo demostrar que debe ser $1$ o $0$ por el siguiente cálculo. Tiene \begin{align*} \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n\to \infty} a_n(2-a_n) \end{align*} Así que si $\lim_{n\to \infty} a_n = a$, luego $$ a = 2a - a^2 \Leftrightarrow a^2 = a \Leftrightarrow a = 1 \lor a = 0. $$ Pero, ¿cómo demostrar que existe un límite al $a_1 \in (0,2)$, y no hay límite al $a_1 < 0$ o $a_1 > 2$?

Answer 1

Ahora que usted tiene una conjetura por lo que el límite debe ser, trate de hacer una sustitución a reflejar eso. En este caso, vamos a

$$ a_n = 1 + b_n $$

para todos los $n$. Sustituyendo esto en el original de la recurrencia de la $a_{n+1} = a_n(2 - a_n)$ se convierte en

$$ 1 + b_{n+1} = (1 + b_n)(1 - b_n) = 1 - b_n^2, $$

así que

$$ b_{n+1} = -b_n^2. $$

Por iteración en esta recurrencia podemos resolverlo de forma explícita como

$$ b_{n+1} = -b_1^{2n}. $$

Por lo tanto si $|b_1| > 1$ vemos que $b_n \to -\infty$. Esto es equivalente a la declaración

$$ a_1 \(- \infty,0) \cup (2,\infty) \Longrightarrow a_n \\infty. $$

Si $|b_1| = 1$ $b_n = -1$ todos los $n > 1$. Esto es equivalente a la declaración

$$ a_1 \in \{0,2\} \Longrightarrow a_n = 0 \text{ para todo } n > 1. $$

Por último, si $|b_1| < 1$$b_n \to 0$, y esto es equivalente a

$$ a_1 \en (0,2) \Longrightarrow a_n \a 1. $$

Answer 2

Usted puede demostrar que si alguna vez obtener un número negativo, la secuencia será monótonamente decreciente a partir de ese momento. Si había un límite, por lo tanto, sería negativo, y que han demostrado que la única manera posible de límites se $0$$1$. Por lo tanto, no se puede tener un límite.

Usted puede demostrar que para $a_n\in(0,1)$ el siguiente elemento en la secuencia que se sigue en $(0,1)$, pero más grande. Puesto que la sucesión es acotada y monótona que deben converger para algo, y que han demostrado que $1$ es el único límite que es mayor que $a_n$.

$a_0=0$ obviamente converge a sí mismo, y por razones de simetría de una secuencia a partir de a $a_0>1$ se une con la que a partir de a $2-a_0$ después de un solo paso, y por lo tanto tiene el mismo límite.

Juntos, estos casos lo cubre todo.