¿Cómo agrego fórmulas de suma como esta:$F(n+2) = 1 + \sum_{i=0}^{n} F(i)$?

Question

Tengo un problema de Fibonacci ... básicamente tengo que demostrarlo:

ps

Usando una fuerte inducción, ahora debo mostrar que:

$$F(n+2) = 1 + \sum_{i=0}^{n} F(i)$ $$$F(n+2) = F(n+1) + F(n)$ $$$F(n+2) = (1 + \sum_{i=0}^{n-1} F(i)) + (1 + \sum_{i=0}^{n-2} F(i))$ $

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¿Cómo agrego estas dos sumas para mostrar que son iguales a la primera ecuación (en la parte superior)?

Proporcione los pasos con una explicación de lo que está haciendo. Gracias

Answer 1

Lo estás haciendo mucho más difícil de lo que realmente es. En particular, no necesitas una inducción fuerte. Su hipótesis de inducción es que

ps

Ahora agregue$$F(n+2)=1+\sum_{k=0}^nF(k)\;.$ a ambos lados y simplifique cada lado:

ps

La igualdad de las cantidades más a la izquierda y más a la derecha en esa cadena es exactamente lo que necesita probar para su paso de inducción.

Answer 2

Si usted está pidiendo cualquier inducción de prueba para esta identidad, su pregunta es un duplicado de algunos ya existentes preguntas, por ejemplo, Fibonacci utilizando la prueba por inducción: $\sum_{i=1}^{n-2}F_i=F_n-2$ (y otros cargos vinculados hay) o Para la secuencia de Fibonacci demostrar que $\sum_{i=1}^n F_i= F_{n+2} - 1$ (y otros cargos vinculados hay

Si usted se está preguntando específicamente si el enfoque que has elegido puede ser de alguna manera terminó, la respuesta es que es posible.

A partir de los resultados que usted está tratando de demostrar parece que usted está usando$F(0)=0$$F(1)=1$. (Probablemente, usted debe especificar esto en tu pregunta, ya que el $F(0)=F(1)=1$ es bastante común también.)

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Usted tiene \begin{align*} F(n+2) &\overset{(1)}= 2 + \sum_{i=0}^{n-1} F(i) + \sum_{i=0}^{n-2} F(i)\\ &\overset{(2)}= 2 + \sum_{i=1}^{n} F(i-1) + \sum_{i=2}^{n} F(i-2)\\ &\overset{(3)}= 1+ F(-1) +\sum_{i=1}^{n} F(i-1) + F(-2)+ F(-1) +\sum_{i=2}^{n} F(i-2)\\ &\overset{(4)}= 1 + \sum_{i=0}^{n} F(i-1) + \sum_{i=0}^{n} F(i-2)\\ &\overset{(5)}= 1 + \sum_{i=0}^{n} (F(i-1) + F(i-2))\\ &\overset{(6)}= 1 + \sum_{i=0}^{n} F(i) \end{align*}

Observe que si usted está usando $F(0)=F(1)=1$ (como se mencionó en un comentario bajo esta respuesta, ahora suprimido), entonces usted consigue $F(-1)=F(1)-F(0)=0$ y de manera similar a $F(-2)=F(0)-F(-1)=1$.

Voy a añadir que el mismo enfoque de trabajo con $F(0)=0$$F(1)=1$, que es probablemente la más habitual. (Esto son los valores iniciales que se menciona en el artículo de Wikipedia sobre los números de Fibonacci.) En este caso obtendríamos $F(-2)=-1$, $F(-1)=1$ y, de nuevo,$2=1+F(-1)+F(-2)+F(-1)$. Con estos valores iniciales tenemos $F(-n)=(-1)^{n+1}F(n).)

$(3)$: Aquí se utiliza, simplemente,$2=1+F(-1)=1+F(-1)+F(-2)+F(-1)$. (Lo cual es cierto ya que $F(-1)=0$$F(-2)=1$.) Estamos haciendo esto porque estos son precisamente los números que faltan en las sumas para obtener una suma de$0$$n$.

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Después de la publicación de esta respuesta me pareció un lugar similar enfoque en esta respuesta: Fibonacci prueba de la pregunta $\sum_{i=1}^nF_i = F_{n+2} - 1$. Puede echar un vistazo a la forma en que está escrito allí para ver si podía hacer las cosas más claras.